2015-05-05
1714
Пусть L – подпространство V, x 0Î V.
Множество M = { x | x = x 0 + y, y Î L } называется линейным многообразием в V.
О линейном многообразии M говорят, что оно параллельно подпространству L и обозначают M = x 0 + L.
Если x 0Î L, то M º L и M является подпространством. Если x 0Î V, но x 0Ï L то линейное многообразие подпространством не является.
29°. Линейное многообразие порождается сдвигом единственного L.
◀ Пусть M = x 0 + L и M = x¢ 0 + L¢. Тогда " x Î M
x = x 0 + y = x¢ 0 + y¢ Þ y = x¢ 0 + y¢, где y Î L, y¢ Î L¢. Так как это верно для " y Î L, положим y = q. Получим y¢ = x 0 – x¢ 0 и т.к. y¢ Î L¢ Þ x 0 – x¢ 0 Î L¢. Тогда 
Þ y Î L¢. Итак, если y Î L Þ y Î L¢ Þ L Ì L¢, аналогично L Ì L¢, тогда L = L¢. ▶
Размерность линейного многообразия – это размерность соответствующего подпространства L, базис линейного многообразия – это базис соответствующего подпространства. Забавный нюанс – базис линейного многообразия самому многообразию, вообще говоря, не принадлежит.
|
|
|
1-мерное многообразие называется прямой, k -мерное многообразие называется k -мер-ной плоскостью, (n – 1)-мерное многообразие – называется гиперплоскостью (n = dim V).
§19. Действия с подпространствами
Пусть L 1 и L 2 – подпространства пространства V.
L = L 1 + L 2 Û L º { x | x = x 1 + x 2, x 1Î L 1, x 2Î L 2}
N = L 1∩ L 2 Û N º { x | x Î L 1 Ù x Î L 2}
= L 1∩ L 2 Û º { x | x Î L 1 Ú x Î L 2}.
Отметим, что теоретико-множественное объединение подпрост-ранств подпространством, вообще говоря, не является. Рисунок иллюстрирует, что сумма векторов из L 1 + L 2 не всегда принадлежит L 1 + L 2.
30°. L = L 1 + L 2 и N = L 1∩ L 2, где L 1 и L 2 – подпространства также являются подпростран-
ствами.
◀ В доказательстве элементы подпространств L 1 и L 2 будем снабжать соответствующими индексами.
1) L = L 1 + L 2: " x, y Î L x + y = (x 1 + x 2) + (y 1 + y 2 )= (x 1 + y 1) +(x 2 + y 2);
x Î L:a x = a(x 1+ x 2) = a x 1+a x 2; q L = 
= q V; (– х)=(– х)1+(– х)2.
2) N = L 1∩ L 2 : 
; 
. ▶
31°. Формула Грасмана dim(L 1 + L 2) = dim L 1 + dim L 2 – dim L 1∩ L 2.
◀ Пусть dim L 1∩ L 2 = k, dim L 1 = k + l 1, dim L 2 = k + l 2. Докажем, что dim(L 1 + L 2) = k + l 1 + l 2.
Пусть 
базис в L 1∩ L 2. Дополним его до базиса L 1: 
и до базиса L 2: 
. Покажем, что 
, базис в L 1 + L 2. Полнота:
x = x 1 + x 2 = 
= 
.
Линейная независимость (от противного).
Пусть a1 e 1 + … + a kek + b1 f 1 + … + 
+ g1 g 1 + … + 
= q;
Из последнего равенства следует, что векторы стоящие в его левой и правой частях принадлежат L 1∩ L 2 . Тогда у Î L 1∩ L 2 можно записать в виде: y = d1 e 1 + … + d kek. Сравнивая y = a1 e 1 + … + a kek + b1 f 1 + … + 
с y = d1 e 1 +… + d kek, в силу единственности разложения у, заключаем, что a1 = d1, a2 = d2, …, a k = d k; b1 = b2 = … = 
Подставляя b i = 0 в (*) получаем a1 e 1 + … + a kek + g1 g 1 + …+ = q и, в силу линейной независимости векторов e 1, е 2, …, ek, g 1, g 2,…, 
получаем: a1 = a2 =… = a k = g1 =… = 
= 0. ▶
|
|
|
