double arrow

Линейное пространство матриц


Матрицей n ´ m называется прямоугольнаятаблица , где аij – принадлежат некоторому числовому полю K и называются элементами матрицы A или матричными элементами А. Иногда пишут Аnm. Здесь индексы определяют размеры матрицы А (1й – количество строк, 2й – количество столбцов). Матрицы А и В называются равными (А = В), если их размеры совпадают и аij = bij.

На множестве матриц одинаковых размеров можно определить операцию сложения: C = A + B так, что cij = аij + bij, и операцию умножения на скаляр из внешнего поля К: D = a×A Û dij = a×аij.

. Множество матриц Аnm с так определенными операциями поэлементного сложения и умножения на скаляр образуют линейное пространство Кnm. Доказать самостоятельно.

При этом dimKnm = n×m, а базис образуют матрицы Eij , у каждой из которых элемент, стоящий на пересечении i-ойстрочки и j-ого столбца равен 1, а остальные элементы равны 0. Нейтральным элементом является матрица Q у которой все элементы равны 0.

Если у матрицы Аnm n = m ,то матрица А называется квадратной, а число n называют порядком этой матрицы. При этом если для еe элементов аij = аji – матрица называется симметрической (или симметричной), а если аij = –аji, то матрица называется кососимметрической (или кососимметричной).

. Всякая квадратная матрица может быть разложена в сумму симметрической и кососимметрической матрицы.

◀ Пусть матрица Аnm задана своими элементами: Anm = (аij), i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, m. Построим матрицы Snm и элементы, которых связаны с аij следующими соотношениями . При этом sij = sji и . Т.е. матрицы Snm и соответственно симметричная и кососимметричная. Кроме того

, т.е. А = S + . ▶

. Множество симметричных (кососимметричных) матриц порядка n образуют линейное пространство. Самостоятельно установите базис и размерность этих пространств.

Заказать ✍️ написание учебной работы
Поможем с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой

Сейчас читают про: