Гомоморфизмы. Фактор-группа

Пусть G – группа с элементами a, b, c, … и – некоторое множество с элементами в котором введена операция: .

Def: Отображение f группы G на множество : называется гомоморфизмом, если выполнено соотношение f (a × b) = f (a)× f (b). При этом называется гомоморфным образом группы G.

Если , то гомоморфизм называется эндоморфизмом.

Если задано гомоморфное отображение G на , то все элементы группы G разбиваются на непересекающиеся классы; B классы объединяются все те элементы группы G, которые отображаются в один и тот же элемент множества .

Т°. Гомоморфный образ группы есть группа.

◀ Пусть элементы гомоморфного образа группы G при гомоморфизме f. Значит, такие, что Тогда операции в G и согласованны (по определению гомоморфизма) и осталось проверить свойства операции:

а) = f (a)((f (b)× f (c)) = f (a) f (bc) = f (a (bc)) = f ((ab) c) = f (ab)× f (c) = (f (a) f (b))× f (c) =

(ассоциативность операции);

б) f (e) обозначим : = f (a) f (e) = f (ae) = f (a) = (т.к. f (e) = единичный элемент);

б) f (a ^-1) обозначим : = f (a) f (a ^–1) = f (a) f (a ^–1) = f (e) = (т.е. обратный к ) ▶

Пусть H – нормальный делитель группы G. Определим отображение f группы G на множество смежных классов по нормальному делителю Н: f: a Î G, то a ↦ aH: aH Î .

Т°. Отображение f группы G на смежные классы по нормальному делителю Н, при

определении операции умножения классов смежности, как подмножеств группы

G, представляет собой гомоморфизм.

◀ Истинность этого факта следует из доказанной теоремы о том, что произведение смежных классов есть смежный класс ▶

Следствием двух последних теорем является:

Т°. Множество смежных классов группы G по нормальному делителю Н с

операцией умножения этих классов, определенной как произведение подмножеств группы G, образуют группу.

Эта группа называется фактор-группой группы G по нормальному делителю Н и обозначается: G / H.

Очевидно, отображение f группы G на множество смежных классов по нормальному делителю Н представляет собой гомоморфизм этой группы на фактор-группу G / H.

Пример: Пусть Rⁿ – n -мерное линейное пространство. Оно является абелевой группой по сложению. По определению прямого произведения . –абелева подгруппа, т.е. нормальный делитель группы Rⁿ. Смежным классом a Î Rⁿ служат многообразие , фактор-группа Rⁿ / изоморфна (n –1) – подпространству R^{n –1}: т.е. R^{n –1} = Rⁿ / . Кстати, именно этим и объясняется термин: нормальный делитель и обозначение G / H.