2015-05-05
1497
Def: Определителем Грамма, системы векторов { e 1, e 2, …, ek } называется определитель
Г(e 1, e 2, …, ek) = 
.
Т°. Для того чтобы система векторов { e 1, e 2, …, ek } евклидова пространства En была
линейно-зависимой необходимо и достаточно чтобы Г(e 1, e 2, …, ek) был равен
нулю.
◀ Необходимость. Пусть e 1, e 2, …, ek линейно зависимы. Тогда ek = a1 e 1 + a2 e 2 +…+ ek –1a k –1 и в Г(e 1, e 2, …, ek) элементы последней строки имеют вид a1(e 1, ei) + a2(e 2, ei) + …+ a k –1(ek –1, ei), т.е. последняя строка есть линейная комбинация остальных Þ Г(e 1, e 2, …, ek) = 0.
Достаточность. Пусть Г(e 1, e 2, …, ek) = 0 Þ строки его линейно зависимы Þ $b1, b2, …, b k b1(e 1, ei) + … + b k (ek,ei) = 0 Þ (b1 e 1 + … + b kek = 0 и не все b i = 0 Þ e 1, e 2, …, ek линейно зависимы. Противоречие ▶
Следствие. Если e 1, e 2, …, ek линейно независимы, то Г(e 1, e 2, …, ek) ¹ 0. Более того, Г(e 1, e 2, …, ek) > 0
◀ Рассматриваем ℒ(e 1, e 2, …, ek). Тогда (ek,ei) – элементы матрицы некоторой симметрической билинейной формы, соответствующая которой квадратичная форма определяет скалярное произведение, т.е. является положительно определенной. Следовательно, по критерию Сильвестра D1 > 0, D2 > 0, …, D k > 0. Но D k = Г(e 1, e 2, …, ek) ▶
|
|
|
§2. Взаимные базисы.
Ковариантные и контравариантные координаты векторов
Пусть En – евклидово пространство, пусть { e 1, e 2, …, en }базис в En и { e 1, e 2, …, en }другой базис в En. Базисы { ei } 
и { ei } называются взаимными, если (ei, ej) = 
= 
.
символ
Кронекера-Капелли.
Т°. Любой базис { ei } из En имеет единственный взаимный базис.
◀ Пусть ej = 
e 1 + 
e 2 + … + 
en. Умножим равенство скалярно на ei.
(ei, ej) = (ei, e 1) + (ei, e 2) + … + (ei, en) = , i, j = 1, 2, …, n.
Имеем неоднородную систему n -линейных уравнений с n неизвестными 
, Определитель этой системы есть Г(e 1, e 2, …, en) ¹ 0, т.е. система имеет единственное ненулевое решение.
Следовательно векторы ej определяются однозначно. Убедимся в том, что они образуют базис (т. е. являются линейно независимыми).
Пусть a1 e 1 + a1 e 2 + …+ a nen = 0. Умножим скалярно на ei.
a1(ei, e 1) + a2(ei, e 2) + … + a n (ei, en) = 0 Þ a i = 0, i, j = 1, 2, …, n ▶
Замечание: если базис { ei } ортонормированный, то его взаимный базис совпадает с данным базисом.
Пусть { ei } и { ej } взаимные базисы в Еn.
Тогда "хÎ Еn 
(1)
(x 1, x 2, …, xn) называются ковариантными координатами вектора x.
(x 1, x 2, …, xn) называются контравариантными координатами вектора x.
Смысл названий мы поясним далее.
Соглашение: Пусть имеется выражение, составленное из сомножителей, которые снабжены конечным числом индексов (верхних и нижних). При этом договариваются, что все нижние индексы обозначаются разными символами (аналогично верхние). Если в таком выражении встречаются два одинаковых индекса, из которых один верхний, а другой – нижний, то считается, что по таким индексам производится суммирование от 1 до n.
|
|
|
Например: 
.
Используя, это соглашение формула (1) записывается так: x = xiei, x = xiei, (индекс суммирования может быть обозначен любым символом, результат не изменится – и часто называется «немым» (иногда «глухим») индексом).
Пусть x = xiei. Умножив на ej, получим (x,ej) = xi (ei,ej) = xi = xj. Аналогично x = xiei умножим на ej и получим (x, e j) = xi (ei,ej) = xi = xj. Т.е. получили формулы:
эти формулы называются формулами Гиббса.
Тогда используя формулы Гиббса, запишем: ej = (ej, ei) ei и ej = (ej, ei) ei и обозначив gji = (ej, ei), gji = (ej, ei) получим ej = gjiei; ej = gjiei.
 |
Т.е. для получения взаимного базиса { ej }по базису { ei } достаточно знать матрицу gji = (ej, ei) и наоборот: для получения базиса { ej } по базису { ei } достаточно знать матрицу gji = (ej, ei). (Точнее их обратные матрицы).
Т°. Матрицы gji и gji – взаимнообратные.
◀ Соотношение ei = gjiej умножим на ek: 
= (ei,ek) = gji (ej, ek) = gjigjk Þ gjigjk = , т.е. произведение матриц (gji) и (gji) есть единичная матрица ▶
Задача 1. По заданному базису { ei } (нижнему) построить ему взаимный базис { ei } (верхний), по заданному верхнему базису построить взаимный нижний.
◀ а) Чтобы построить базис взаимный к нижнему надо найти матрицу GH = (gik) = (ei, ek), обратить матрицу, получив (GH)–1 и подействовать этой матрицей на матрицу FH, строками которой являются векторы нижнего базиса. После перемножения получится матрица FB , строками которой являются векторы верхнего базиса.
б) Чтобы построить базис взаимный к верхнему надо найти матрицу GВ = (gik) = (ei, ek), обратить ее, получив (GВ)–1 и подействовать этой матрицей на матрицу FB, строками которой являются векторы верхнего базиса. После перемножения получится матрица FH,
строками которой, являются векторы нижнего базиса.
в) именно так трактуются формулы: ei = gijei = (gij)–1 ei; ei = gijei = (gij)–1 ei ▶
