Переходные процессы в цепях, содержащих R, L и C. Свободные колебания в контуре

Рассмотрим переходные процессы в электрических цепях, содержащих R, L и C, т.е. в цепях, запасающих энергию и в магнитных и в электрических цепях. В таких цепях возникают новые явления. Наиболее существенным из них является способность электрической цепи к собственным колебаниям.

а) б)

Рис.6.2

Переходные процессы в цепи (рис.6.2а) описываются дифференциальным уравнением

Если функция внешнего воздействия при любых равна нулю (режим короткого замыкания цепи) (рис.6.2б), то уравнение становится однородным:

где

Общее решение его имеет вид

.

Здесь p₁ и p₂ – корни характеристического уравнения р²+2αр+ω₀²=0, определяемые равенством

(6.5)

Обозначив , (6.6)

получим

. (6.7)

Для вычисления неизвестных констант А₁ иА₂ необходимо использовать начальные условия.

Предположим, что электромагнитная энергия в момент, предшествующий короткому замыканию, полностью сосредоточена в емкости, т.е. при t=(0_-) напряжение , а ток в индуктивности (6.2б).

В соответствии с этим можно записать:

(6.8)

Применяя условие для тока (6.8) к выражению (6.7), находим, что , откуда

(6.9)

Согласно условию (6.8) напряжение на активном сопротивлении в начальный момент должно быть равно нулю. Следовательно, при t=(0+) на основании второго закона Кирхгофа имеем

,

или с учетом (6.8)

Отсюда вытекает, что

(6.10)

Вычисляя производную тока по времени и используя выражение (6.10), будем иметь

Таким образом, выражение для собственного тока в контуре окончательно принимает вид

. (6.11)

Напряжение на индуктивности

(6.12)

Наконец, напряжение на емкости при t≥0 есть функция

(6.13)

При t=(0+) из (6.12) получаем

Из формулы (6.6) следует, что коэффициент β может быть как вещественным (при α ≥ω₀), так и мнимым (при α <ω₀). В соответствии с этим в контуре могут иметь место два вида собственных процессов.