Временной метод. Метод интеграла Дюамеля

Классический метод анализа переходных процессов оказывается достаточно эффективным в тех случаях, когда внешнее воздействие имеет сравнительно простой вид. Однако этот метод будет практически непригоден, если напряжение или ток на входе цепи меняется во времени сложным образом. Для исследования линейных цепей при произвольных входных воздействиях целесообразно применять принцип суперпозиции (метод наложения)

Метод наложения позволяет разложить заданное входное воздействие сложной формы на подобные друг другу слагаемые более простой формы, для которой легко найти реакцию цепи.

Определив реакцию цепи на каждую элементарную составляющую воздействия и суммируя эти реакции, находят реакцию цепи на сложное воздействие.

Отдельные составляющие целесообразно выбирать такими, чтобы они были математически простыми, и расчет реакций, ими вызываемых, был бы не сложен. Элементарные составляющие воздействия и вызываемые ими реакции выражают с помощью двух функций: 1) единичной функции (единичного скачка) и 2) импульсной функции (дельта функции).

Единичная функция. Переходная характеристика. Единичную функцию определяют как функцию времени:

при . (6.23)

Вид единичной функции изображен на рис.6.6а.

а) б)

Рис.6.6

С помощью единичной функции напряжения любая функция времени u=f(t) может быть представлена в форме произведения 1(t)f(t). Это произведение равно нулю при t<0 и равно f(t) при t≥0. Если цепь в момент t=0 включается на постоянное напряжение U₀, то u=U₀1(t). Это выражение указывает на то, что напряжение скачкообразно возрастает до U₀ в момент включения t=0 и дальше непрерывно действует, оставаясь постоянным.

Если воздействие подается в цепь не в момент t=0, а с запаздыванием на t₁, его следует записать с помощью единичной функции с запаздывающим аргументом:

при . (6.24)

График этой функции, поясняющий смысл параметра t₁, изображен на рис. 6.6б. Постоянное напряжение U₀, подаваемое в цепь, запишется так: u=U₀1(t-t₁).

Используя принцип наложения, можно сформировать импульсы различного вида. Например, импульс треугольной формы рис.(6.7а), используя линейно нарастающее напряжение u=kt, (k=2E/δ), единичную функцию и соответствующее запаздывание во времени (рис.6.7б).

Используя рис.6.7б, можно записать аналитическое выражение для треугольно го импульса:

(6.25)

Единичную функцию напряжения можно создать подключением к цепи в момент t=0 или t=t₁ источника с напряжением в один вольт. Реакция цепи на единичную функцию называется переходной характеристикой.

а) б)

Рис. 6.7

Если воздействие запаздывает на время τ, то на такое же время, очевидно, запаздывает и реакция цепи. Если воздействие увеличивается в а раз, то во столько же возрастает ответная реакция цепи. Размерность переходной характеристики цепи равна отношению размерностей выходной и входной величин. Если внешнее воздействие задано в виде единичной функции напряжения, а искомой величиной является тоже напряжение на каком либо элементе цепи, то переходная характеристика является безразмерной величиной и обозначается как k(t). Если определяется ток в цепи, то переходная характеристика имеет размерность проводимости и обозначается в дальнейшем как g(t). Для определения переходной характеристики необходимо рассчитать переходной процесс в цепи при нулевых начальных условиях при включении на единичную функцию напряжения. Переходная характеристика, таким образом, является функцией времени, зависящей от параметров и схемы цепи.