Б). Колебательный процесс

Пусть α <ω₀, т.е.

(6.15)

Теперь и, следовательно, корни характеристического уравнения оказываются комплексными:

и

причем

(6.16)

Если учесть, что

то при мнимых значениях β равенство (6.13) принимает вид

(6.17)

где .

Величина свободного тока в контуре

(6.18)

а напряжение на индуктивности

(6.19)

Таким образом, ток и напряжение на элементах контура при условии (6.15) изменяются во времени по гармоническому закону, однако амплитуды колебаний с течением времени непрерывно уменьшаются. Затухание колебаний определяется множителем e^-αt, поэтому α носит название коэффициента затухания. Частота ω_с называется частотой собственных колебаний, или собственной частотой контура. В общем случае она не совпадает с резонансной частотой ω₀.

Сдвиг по фазе между током и напряжениями на индуктивности и емкости контура, определяемый углом φ, зависит от соотношения между частотой ω_с и коэффициентом затухания α.

Если потери в контуре невелики (R<<ρ), то ω_с>>α, φ≈π/2 и ω_с≈ω₀.

Выражения (6.17) – (6.19) при этом вид:

(6.20)

Отсюда следует, что напряжение на индуктивности опережает, а напряжение на емкости отстает от тока на угол π/2.

Кривые изменения напряжения u_C и собственных колебаний в контуре с относительно малыми потерями приведены на рис.6.5.

Рис.6.5

Скорость затухания собственных колебаний в контуре можно характеризовать отношением амплитуд напряжения u_C, u_L или тока в моменты t и t+T, где T – период колебаний (рис.6.5). Из выражений (6.17) – (6.19) видно, что отношение соответствующих амплитуд

Натуральный логарифм этого отношения

- носит название логарифмического декремента затухания.

Легко показать, что для контура с малыми потерями

(6.21)

На практике вместо логарифмического декремента обычно используется пропорциональная ему величина

которая называется затуханием. Здесь Q - добротность контура.

Если контур не имеет потерь, запас электромагнитной энергии в нем с течением времени не меняется. В этом случае собственные колебания должны иметь синусоидальный характер. Действительно, из выражения (6.20) следует, что при R=0

(6.22)

Величина энергии электрического и магнитного полей в идеальном контуре определяется соотношениями: