Начисление процентов при дробном числе периодов

Иногда для некоторых операций проценты начисляются только за целое число периодов, дробная же часть периода отбрасывается.

В большинстве же случаев учитывается полный срок. При этом применяются 2 метода:

1) общий – расчет ведется по формуле (3.1), где n – дробное число;

2) смешанный – за целое число периодов проценты начисляются по формуле сложных процентов, за дробную часть – по формуле простых:

S = P (1 + i) ^a · (1 + bi), (4.7)

где a – целое число периодов, b – дробная часть (n = a+b).

Наращение процентов m раз в году

В современных условиях проценты капитализируются часто не один, а несколько раз в году – по полугодиям, кварталам и т.д. Некоторые зарубежные коммерческие банки практикуют даже ежедневные начисления процентов. При начислении процентов несколько раз в году можно воспользоваться формулой (3.1), параметр n в этих условиях будет означать число периодов начисления, а под ставкой i следует понимать ставку за соответствующий период.

Однако, как правило, в контрактах фиксируется не ставка за период, а годовая ставка в процентах и указывается период начисления процентов.

Пусть годовая ставка равна j_m, а число периодов начисления в году равно m. Проценты начисляют по ставке j_m / m. Ставку j_m называют номинальной.

Формулу наращения можно представить следующим образом:

S = . (4.8)

Если nm целое число, то можно пользоваться стандартными финансовыми таблицами сложных процентов.

Пример 4.2. Какова сумма долга величиной в 500 тыс.руб. через 25 мес., если проценты сложные, ставка 20 % годовых, начисляются поквартально.

Т.к. число периодов – дробное – 8 кварталов и 1 месяц, то возможен расчет на основе:

1) общего метода (формула (4.1))

S = P (1 + i) ⁿ = =750,840 тыс.руб.

2) смешанного метода (формула (4.7))

S = P (1 + i) ^a ·(1 + bi) = = 751,040 тыс.руб.

На данном примере видно, что применение для периода меньше года простых процентных ставок дает больший результат, чем сложных 750,840 < 751,040.

Эффективная ставка – это годовая ставка сложных процентов, которая дает тот же результат, что и m -разовое начисление процентов по ставке j_m. Приравняв множители наращения формул (3.1), (3.8) получим

,

откуда

. (4.9)

При m >1, эффективная ставка i больше номинальной j_m, при m =1; i = j.

Замена в договоре номинальной ставки j при m -разовом начислении процентов на эффективную ставку i не изменяет финансовых обязательств участвующих сторон, т.е. обе ставки эквивалентны в финансовом отношении.

Пример 4.3. Какова эффективная ставка, если номинальная ставка равна 25% при помесячном начислении процентов?

0,280732.

Для сторон в сделке безразлично – применить ставку 25 % при помесячном начислении или годовую ставку 28,0732 %.

При подготовке контрактов может возникнуть необходимость и в решении обратной задачи – в определении j_m по заданным значениям i и m.

(4.10)