Дискретизация двумерных сигналов (изображений)

Большую часть сообщений, циркулирующих в системах передачи и храненияинформации, составляют сигналы, являющиеся многомерными функциями пространственных, временных и прочих координат. В связи с этим естественным является вопрос: можно ли производить дискретизацию многомерных сигналов (функций нескольких переменных)?

Ответ на этот вопрос дает теорема дискретизации для двумерных сигналов, которая утверждает: функция двух переменных s (x,y),двумерное преобразование Фурье которой

равно нулю при f_x ≥ f_{x max}и f_y ≥ f_{y max},однозначно определяется своими значениями в равноотстоящих точках плоскости переменных x и y,если интервал дискретизации удовлетворяет условию Здесь f_x и f_y - так называемые «пространственные частоты», отражающие скорость изменения двумерной функции s (x,y) по соответствующим координатам (крупные фрагменты изображения - низкие частоты, мелкие детали - высокие частоты).

Процедура дискретизации двумерной функции показана на Рис. 4.1 – 4.3.

Рис. 4.1

Рис. 4.2

Доказательство двумерной теоремы дискретизации основано, так же как и для одномерного случая, на однозначном соответствии между сигналами и их спектрами: одинаковым изображениям (двумерным функциям) соответствуют одинаковые спектры, и наоборот, если спектры двух функций одинаковы, то и сами эти функции равны друг другу.

Рис. 4.3

Преобразование Фурье (спектр) дискретизированной двумерной функции s (i Δ x,j Δ y) получается периодическим продолжением спектра исходной непрерывной функции s (x,y) в точке частотной плоскости (k D f_x,l D f_y) (Рис. 4.4).

Рис. 4.4

Аналитически это можно записать следующим образом:

Из Рис. 4.4 видно, что если соблюдается условие неперекрываемости периодических продолжений спектра , а это справедливо при , то с помощью идеального двумерного фильтра нижних частот из спектра дискретизованной функции можно абсолютно точно выделить спектр исходной непрерывной функции и, следовательно, восстановить саму функцию.

Таким образом, видно, что не существует принципиальных отличий в дискретизации между одномерными и двумерными (многомерными) функциями. Результатом дискретизации в обоих случаях является совокупность отсчетов функции.