Энергетический и мощностный спектры

Как известно, в электротехнике мощность P и энергия E определяются выражениями

,

где U - напряжение; I - ток; R - сопротивление; t_m - время наблюдения. Эти энергетические характеристики пропорциональны квадрату напряжения или тока.

Пусть есть напряжение (или ток) на сопротивлении R = 1 Ом. Тогда при описании сигнала во временной области мгновенная мощность, средняя мощность и энергия будут равны:

,

где обозначение означает усреднение по времени квадрата сигнала.

Если допустить периодическое продолжение сигнала x(t) с периодом T=t_m, то среднюю мощность можно находить, исходя из спектрального представления периодического сигнала в частотной области:

- для ряда (2.4.1);

- для ряда (2.4.2);

- для ряда (2.4.4).

Часто сигнал задается на бесконечном интервале . Тогда

.

Здесь различают два вида сигналов:

Пусть и энергетический сигнал . Выразим энергию сигнала через его частотную характеристику. Для этого в выражении x²(t) одну из функций представим в виде обратного преобразования Фурье. Тогда энергия сигнала

.

Изменим порядок интегрирования. Тогда

.

Внутренний интеграл в квадратных скобках имеет вид

- комплексно-сопряженная функция.

Так как , где A(w) - амплитудный спектр, то окончательно получим

.

Это соотношение называется равенством Парсеваля (или теоремой Рейли).

Величина - это доля энергии сигнала, приходящаяся на полосу частот .

Функция называется спектральной плотностью энергии или энергетическим спектром. Она является четной функцией и определяет величину энергии, приходящейся на полосу в 1 рад/с.

Для мощностных сигналов рассматривают среднюю мощность, так как понятие энергии теряет смысл. Пусть функция x(t) задана на конечном интервале t_m и имеет спектральную функцию

.

Тогда энергия сигнала конечна и равна

.

Средняя мощность при будет

,

где - спектральная плотность мощности.

Спектр плотности мощности сигнала сохраняет информацию только об амплитудах спектральных составляющих. Информация о фазе теряется. Поэтому все сигналы с одинаковым спектром амплитуд и различными спектрами фаз будут иметь одинаковые спектры плотности мощности.

Данному сигналу соответствует единственный спектр плотности мощности. Обратное утверждение неверно: один и тот же спектр плотности мощности соответствует большому числу сигналов.