Относительных величин

Величина результатов, получаемых при любых вычислениях всегда отклоняется от их математической вероятности в силу недостаточно большого числа проводимых наблюдений, поскольку абсолютно достоверный результат может быть получен лишь при бесконечно большом числе наблюдений. Другими словами, результаты вычислений всегда имеют свою ошибку и чем больше число наблюдений, тем точнее результат вычислений, меньше размер ошибки.

Одной из особенностей биологических и медицинских исследований является относительно небольшое число наблюдений. Нередки случаи единичных наблюдений, результаты которых также должны подвергаться статистической обработке.

Существует три основных метода определения достоверности относительных величин: вычисление ошибки относительной величины, определение достоверности разности двух относительных величин и метод доверительных интервалов.

1. Вычисление ошибки относительной величины.

Ошибка относительной величины обозначается знаком (m) и рассчитывается по следующей формуле:

m =

где Р - относительная величина,

q - альтернатива (величина, противоположная по значению Р)

q = 1 - Р Если показатель выражен в процентах,

то q = 100 - Р, если в промилле - то q = 1000 - Р и т.д.

n - число наблюдений.

Данная формула используется для определения ошибки относительного показателя при числе наблюдений n>30 (большая выборка). Если же мы имеем дело с малой выборкой (n<30), ошибка относительного показателя должна рассчитываться следующим образом:

m =

Произведем расчет ошибки для какого-либо относительного показателя:

В районе А. с населением 10000 жителей зарегистрировано 500 случаев заболевания гриппом. Интенсивный показатель заболеваемости населения гриппом будет равен:

500 х 1000

Р = -------------------- = 50 ‰

(50 случаев заболевания на каждую 1000 населения), следовательно, q = 1000 - 50 = 950

Ошибка этого показателя равна: m = = = ± 2,2 ‰

Ошибка относительного показателя всегда имеет знак (±) и наименование, соответственно тому показателю, для которого она рассчитывается.

Существует следующее правило: ошибка показателя должна быть в три раза меньше величины самого показателя. Т.е., например, если мы имеем относительный показатель, равный 2,0%, а его ошибка равна ± 0,8%, то такому показателю нельзя доверять, т.к. 0,8 х 3 = 2,4 и 2,0 < 2,4. В нашем примере ошибка в 3 раза меньше полученного показателя, следовательно, ему можно доверять.

Достоверность относительного показателя с помощью ошибки определяется путем расчета доверительного интервала по следующей формуле:

P = P_в ± t m

где:

t - доверительный коэффициент, который может принимать значения 1, 2, 3.

P_в - показатель выборочной совокупности.

Если доверительный коэффициент равен 1, т.е. интервал P = P_в ± m, то вероятность того, что при повторных исследованиях показатель не выйдет за пределы данного интервала составляет 0,68 (68%).

Если доверительный коэффициент равен 2, т.е. интервал P = P_в ± 2m, то вероятность того, что при повторных исследованиях показатель не выйдет за пределы данного интервала составляет 0,95 (95%).

Если доверительный коэффициент равен 3, т.е. интервал P = P_в ± 3m, то вероятность того, что при повторных исследованиях показатель не выйдет за пределы данного интервала составляет 0,997 (99,7%).

Какие из этих интервалов можно назвать доверительными?

Из теории вероятностей известно, что вероятность, которой можно доверять, или доверительная вероятность, равная 0,95, считается достаточной для суждения о достоверности полученных результатов опыта. Вероятность, равная 0,997 считается еще более надежным критерием достоверности.

Следовательно, интервалы колеблемости показателя P = P_в ± 2m и P = P_в ± 3m являются доверительными интервалами показателя.

Произведем расчеты интервалов колеблемости показателя в нашем примере: Р = 50 ‰, m = ± 2,2 ‰

P ± m = 50 ± 2,2 = 47,8 - 52,2

P ± 2m = 50 ± 2 2,2 = 45,6 - 54,4

P ± 3m = 50 ± 3 2,2 = 43,4 - 56,6

Таким образом, мы можем утверждать, что показатель заболеваемости населения гриппом в районе А. фактически может приобретать любые значения в интервале 45,6 - 54,4 ‰ с достоверностью 0,95, и в интервале 43,4 - 56,6 ‰ с достоверностью 0,997. То есть, если при повторных изучениях заболеваемости населения гриппом мы будем получать значения, входящие в эти интервалы, все они будут достоверными.

Таким образом, при анализе любого статистического материала, рассчитав какой-либо относительный показатель, нельзя сразу делать заключение о величине исследуемого явления. Необходимо, рассчитав ошибку этого показателя, обязательно рассчитать один из доверительных интервалов (как минимум P ± 2m) и только тогда делать заключение о величине исследуемого явления.

Так, в нашем примере мы не можем утверждать, что показатель заболеваемости населения гриппом в районе А. составил 50 ‰, мы должны сделать заключение, что он с вероятностью 0,95 колеблется в пределах от 45,6 ‰ до 54,4 ‰ и любое значение этого же показателя в этом интервале, полученное при повторных исследованиях, будет достоверно.

Особый интерес представляет методика расчета ошибки относительного показателя при его значениях, равных 0% и 100%. Действительно, при расчете ошибки показателя по уже представленной форме получаем:

а) Р = 0%; n = 125; m = = = 0

б) Р = 100%; n = 125; m = =

В таких случаях можно сделать ошибочный вывод о том, что у относительной величины нет ошибки, т.е. она абсолютно достоверна. Однако это противоречит закону больших чисел, поскольку эти результаты могут быть получены и на малом числе наблюдений и даже на единичных наблюдениях, следовательно, они обязательно должны отклоняться от математически достоверных величин, т.е. иметь ошибку.

Для таких случаев предложена другая методика расчета ошибки относительной величины:

m =

где t - доверительный коэффициент

n - число наблюдений.

Приведем пример расчета ошибки относительного показателя, имеющего величину 100%.

В терапевтическом отделении для лечения 100 больных применили новое лекарственное средство, оказавшееся эффективным во всех случаях, т.е. в 100%. Возникает вопрос: действительно ли эффективен этот препарат во всех случаях?

Для того, чтобы ответить на этот вопрос, необходимо рассчитать ошибку полученного показателя:

Р = 100 %; n = 100

m = ; при t = 2 получим m = = 3,8 %

Это означает, что при дальнейшем увеличении числа наблюдений в 95% случаев (т.к. t = 2) препарат будет неэффективен у 3,8% лечившихся больных.

При применении данной формулы ошибка не имеет знака (±), т.к. отклонение показателя может быть только в одну сторону - при 0% в большую, при 100% в меньшую. Кроме того, при определении доверительного интервала нет необходимости удваивать или утраивать ошибку, т.к. введя в формулу величину t мы сразу задаем необходимую его точность.