Интеграл Дюамеля

Пусть требуется найти ток в линейном пассивном двухполюснике, переходная характеристика которого известна, при включении на вход источника ЭДС сложной формы (рис.44). Начальный запас энергии к моменту включения ЭДС считаем равным нулю.

Рис. 44

Выберем произвольно фиксированный момент наблюдения t и рассчитаем переходный ток к этому времени. Очевидно, что величину тока в этот момент определяет вся кривая входного напряжения от t = 0 до момента наблюдения t. В связи с этим введем новое обозначение текущего времени t, изменяющегося в пределах 0 < t < t, и в дальнейшем будем различать e(t), i(t), как функции момента наблюдения t и e(t) и i(t), как функции текущего времени t.

Заменим плавную кривую e(t) ступенчатой, что дает основание считать, в момент времени t = 0 включается постоянное напряжение e(0) 1(t), воздействующее на цепь в течение всего интервала времени от нуля до ¥. Затем через промежуток времени t1 воздействует De1, затем вступает через t2 De2 и т. д. Тогда:

Под влиянием каждого скачка напряжения возникает переходный процесс, начинающийся в соответствующий момент t.

Под влиянием составляющей e(0)1(t) в цепи появится составляющая тока i(t) = e(0) h(t), поскольку отклик на единичную функцию есть переходная характеристика. Через t1 под воздействием De11(t - t1) в цепи появится составляющая тока Di1 = De1 h(t - t1) т.к. Dе1 воздействует в промежутке времени t - t1.

В последующий момент времени t2 вновь происходит скачкообразное изменение напряжения на величину De2, которое вызовет вновь составляющую тока: Di2 = De2 h(t - t2).

Аналогично, найдем, что в момент tk скачок напряжения Dek вызовет ток Dik = Dek h(t - tk).

На основании метода наложения искомый переходный ток будет равен сумме составляющих, найденных для момента t, т.е.

Для того чтобы получить выражение тока, соответствующее плавно изменяющемуся входному напряжению, необходимо число скачков увеличивать до бесконечности (n ® ¥), промежутки времени уменьшать до бесконечно малой величины dt. Величину каждого скачка напряжения de можно представить в виде произведения скорости изменения напряжения de/dt на продолжительность этого промежутка dt, т. е.

Сумма в пределе перейдет в интеграл и для фиксированного момента времени значение тока будет

Полученное выражение носит название интеграла Дюамеля.

Используя теорему свертки функций можно получить ещё одно выражение интеграла Дюамеля:

Пример 6. Для электрической цепи, приведенной в примере 1 рассчитать отклик на входной импульс (рис.45).

Рис. 45

Решение. Для нахождения переходной характеристики цепи удобно использовать операторную характеристику. Действительно, исходя из определения операторной характеристики, изображение отклика

С другой стороны, изображение отклика цепи на единичную функцию на входе является изображением переходной характеристики

В примере 5 была найдена операторная передаточная проводимость

используя которую найдем изображение переходной характеристики

Перейдем от изображения к оригиналу по теореме разложения:

Соответствующий график h(t) приведен на рис.46.

Рис. 46

Проверим правильность расчета переходной характеристики. При t=0 h(0) должна быть равна нулю, так как переходная характеристика представляет собой ток через индуктивность при нулевых начальных условиях (на основании закона коммутации ток в индуктивности скачком измениться не может). Действительно h(0)» 0. При t ® ¥ в цепи устанавливается стационарный режим, ток i3 = 1/(R1+ R2 + R3), h(¥)=0,0125=i3пр.

Рассчитаем отклик цепи на входной сигнал.

Представим переходную проводимость в общем виде

В течение промежутка времени от 0 до tи /2 ток в индуктивности

Поскольку е(0) = 0, то первый член в выражении для искомого тока отсутствует и тогда

На интервале времени от tи /2 до tи .

Кроме того, при t=tи /2 входное напряжение скачком изменяется на величину Em/2.

Следовательно,

В момент времени t = tи входное напряжение скачком уменьшается до нуля, что эквивалентно включению постоянной ЭДС обратной полярности и величиной, равной Em. Следовательно, при t > tи отклик цепи необходимо рассчитывать из выражения: