Импульсная функция и импульсная характеристика

Введем функцию, определяющую прямоугольный импульс длительностью Dt, высотой 1 / Dt и площадью S = 1 (рис.48).

Рис. 48

Такой импульс получается из двух единичных функций, смещенных одна относительно другой на длительность импульса

Наибольший интерес представляет предельный случай прямоугольного импульса, когда его длительность стремится к нулю(Dt®0), а высота к бесконечности (A=1/Dt ® ¥).

.

Эта функция называется импульсной функцией и обозначается d(t).

Её часто называют также «дельта-функцией» или «функцией Дирака». Импульсная функция обладает следующими свойствами:

1) она равна нулю при t < 0 и t > 0, т. е. d(t) = 0 при t ¹ 0;

2)она бесконечно велика в точке t=0: d(0)= ¥;

2) кроме того

Если импульсная функция отлична от нуля не в момент t = 0, а в момент t, т.е. запаздывает на время t, то она записывается с запаздывающим аргументом d(t - t). При этом сохраняется основное свойство функции

Поскольку импульсная функция получена предельным переходом от единичной функции, то следовательно она является производной от единичной функции.

Из последнего выражения следует и обратное соотношение:

Важнейшим свойством «дельта-функции» является фильтрующее свойство записываемое в виде интегральных соотношений:

где f(t) - произвольная непрерывная функция.

Подынтегральная функция в последней формуле равна нулю всюду, кроме точки t = t. Функция f(t) в этой точке равна f(t). Тогда f(t) можно вынести за знак интеграла, а интеграл будет равен единице в силу свойства импульсной функции:

Таким образом, интеграл от произведения импульсной функции и любой непрерывной функции равен значению непрерывной функции при том значении переменной интегрирования, при котором аргумент «дельта-функции» обращается в нуль.

Для определения отклика цепи на сложное воздействие оказывается достаточно знать отклик цепи на «дельта-функцию», который называется импульсной характеристикой. Её можно определить:

Размерность импульсной характеристики

Если воздействие увеличивается в а раз, в силу линейности во столько же раз возрастает и отклик. Если воздействие запаздывает на t1, то на такое же время запаздывает и отклик.