Свободное колебание пластины

Полагая что толщина пластинки не превосходит 1/5 – 1/10 наименьшего размера, а амплитуды прогибов малы в сравнении с толщиной. Колебания таких пластинок оказываются линейными.

Вывод диф. ур-ний этих колебаний, а также граничных условий основан на гипотезах Кирхгофа, принятых приближенной теорией изгиба тонких пластин. Пластина рассматривается как система с бесконечным числом степеней свободы, однако в реальных конструкциях представляет интерес область низких частот. Диф. ур. колебания пластины выводится из ур-ния движения единичного элемента. Простейший случай однородной изотропной пластинки постоянной толщины. Ур-ние движения для прямоугольной с. к.:

– изгибающие моменты;

– крутящий момент;

– поперечные силы;

– плотность материала;

– амплитуда прогиба;

h – толщина пластины

Подставляя выражения для моментов, взятые из теории изгиба пластины, получаем уравнения собственных колебаний рассматриваемой пластинки:

Решение уравнения принимается в виде:

С учетом последнего выражения уравнение принимает вид:

Или в операторном виде:

– собственное значение диф. уравнения

– круговая частота собственных колебаний

D – цилиндрическая жесткость

Для более сложных случаев: ортотропные, изотропные и непрямоугольные, уравнения можно записать в операторном виде:

– собственный линейный диф. оператор в частных производных для выбранной с.к.

Т.о. задача определения частот собственных поперечных колебаний пластинки состоит в нахождении собственных значений линейного обыкновенного диф. уравнения в частных производных при этом должны удовлетворяться граничные условия, которые не отличаются от условий принятой приближенной теорией изгиба пластин.