Системы массового обслуживания

С системами массового обслуживания (СМО) приходится стал­киваться очень часто. Это и работа телефонной станции, и различные очереди (на автозаправке, в поликлинике, в билетной кассе и т.д.), работа некоторых организаций (магазины, мастерские, парикмахер­ские и т. д.).

Каждая СМО имеет как минимум три элемента: обслуживающий инструмент (станок, касса, канал связи и т. д.), который в дальнейшем будем называть каналом обслуживания или просто каналом; входной поток, т.е. поток заявок, поступающих на обслуживание; выходной поток, т. е. заявки, выполненные СМО (обеспеченные услугой).

Каждая поступившая заявка и принятая на обслуживание внутри СМО обрабатывается некоторое время, называемое временем обслу­живания — t_об. Все заявки поступают случайным образом и независи­мо друг от друга. Будем рассматривать простейший случай: в каждый момент времени может поступить только одна заявка. Случаи поступ­ления двух и более заявок в один и тот же момент времени не рассмат­риваются. Таким образом, в некоторые моменты времени поступив­шие заявки будут скапливаться на входе СМО и ожидать своей обра­ботки либо покидать СМО необслуженными. В другие моменты вре­мени СМО может простаивать, т. е. не иметь заявок на обслуживание.

График работы СМО представляет собой ступенчатую функ­цию, т. е. состояние СМО изменяется скачкообразно.

При моделировании работы СМО ставится задача связать тех­нические характеристики СМО, такие, как количество каналов, производительность каждого канала, характер входного потока и т.д., с показателями работы СМО (различные средние величины — среднее время обслуживания одной заявки, среднее время ожидания обслуживания, среднее количество заявок, обслуживаемых за еди­ницу времени и т.д.). Системы массового обслуживания можно классифицировать по разным признакам, например по способу об­работки входного потока заявок, (рис. 2).

	Системы массового обслуживания

С приоритетамии

Ограниченная очередь

Неограниченная очередь

С очередью

С отказами (без очереди)

Рис. 2. Классификация систем массового обслуживания

По способу функционирования СМО могут быть:

• открытыми, т. е. поток заявок не зависит от внутреннего со­стояния СМО;

• закрытыми, т. е. входной поток зависит от состояния СМО (один ремонтный рабочий обслуживает все каналы по мере их выхода из строя)

Схема гибели и размножения

Рассмотрим еще одну типичную схему непрерывных марковских цепей -так называемую схему гибели и размножения.

Марковский процесс с дискретными состояниями S0,S1,s2,..Sn называется процессом гибели и размножения, если все состояния можно вытянуть в одну цепочку, в которой каждое из средних состояний S1,S2,…Sn-1 может переходить только в соседние состояния, которые, в свою очередь, переходят обратно, а крайние состояния переходят только в соседние состояния. Большинство реальных процессов, протекающих в технике, экономике, транспорте и т.д., можно описать с помощью размеченного графа специального вида (рис 3).

λ₁₂ λ₂₃ λ₃₄ λ_n-1,n

λ₂₁λ₃₂ λ₄₃ λ_n,n-1

рис 3

Особенностью графа, представленного на рис..3, является то, что каждое состояние, кроме первого и последнего, связано только с предыдущим и последующим состояниями.

Вычислим финальные вероятности событий. Составим систему линейных уравнений:

для события S1 λ₁₂p₁=λ₂₁p₂ (7)

для события S2 (λ₂₃+ λ₂₁)p₂=λ₁₂p₁ + λ₃₂p₃

Выполнив преобразование, получим

λ₂₃p₂= λ₃₂p₃

Аналогично для события S3 λ₃₄p₃=λ₄₃p₄

Для события Sn λ_n-1,np_n-1=λ_n,n-1p_n

Таким образом, получим систему линейных уравнений

λ₁₂p₁=λ₂₁p₂

λ₂₃p₂= λ₃₂p₃ (8)

λ_n-1,np_n-1=λ_n,n-1p_n

Используя нормированное условие

P1+p2+P3 +... +рn= 1, (9)

из первого уравнения выразим р2 через р1

(10)

Из второго уравнения, выполнив подстановку, выразим р3 черезр1

(11)

Из третьего уравнения, выполнив подстановку, выразимр4 через р1:

(12)

Т.д.

(13)

В числителе формулы (13) стоит произведение интенсивностей потоков событий с увеличивающимся номером событий (прямой проход, т.е. слева направо), а в знаменателе произведение интенсивностей потоков событий с уменьшающимся номером событий (обратный проход, т. е. справа налево).

После выполнения действий (10) — (12) оказалось, что все интенсивности событий отр2 до рn выражены через одну р1. Теперь, используя выражение (9), преобразуем формулу (13) к виду:

или (14)

Остальные вероятности можно вычислить, используя выражение (14), в соответствии с формулами (10) — (13), подставляя в каждую из них необходимое количество членов ряда в знаменателе дроби.