Моделирование систем массового обслуживания

На любую СМО (одноканальная, многоканальная, марковская, не марковская, с очередью, без очереди) воздействуют два потока событий: входной поток и выходной поток. В установившемся (ста­ционарном) режиме среднее число входящих событий за единицу времени равно среднему числу выходящих событий (обслуженных)

и оба потока имеют одну и ту же интенсивность

Обозначим через X(t) количество вошедших событий за время Т, а через Y(t) — количество обслуженных (вышедших) событий.

В момент времени t1 и t4 обслуживается одно событие (заявка). В момент времени t2 обслуживаются два события (заявки). В мо­мент времени t3 заявок нет, и каналы обслуживания простаивают. Обе функции X(t) и Y(t) имеют ступенчатый характер.

Очевидно, что Z(t) = X(t) - Y(t) есть не что иное, как количество со­бытий (заявок), которые обслуживаются в СМО в момент времени t.

X(t) Y(t)

t1

t2

t3

t4

T

t

Графически функция Z(t) на рис. 5 представлена заштрихо­ванной областью и ограничена с двух сторон функциями X(t) и Y(t).

Рис. 5. Хронология работы системы массового обслуживания

Еcли t —>∞, то среднее число входящих в СМО событий можно определить:

(15)

Геометрическая интерпретация интеграла Z(t)dt — есть площадь заштрихованной фигуры (рис. 5). Но сама фигура состоит из совокупности прямоугольников. Каждый прямоугольник имеет единичную высоту (обслуживается одно событие) и длину, равную времени обслуживания события (время пребывания события внутри СМО). Таким образом:

(16)

Равенство (16) справедливо при достаточно большом значении Т и последним прямоугольником (или прямоугольниками) можно пренебречь, т. е. в интеграл включены все события, обслуженные СМО, за время Т.

Разделим левую и правую части выражения (16) на Т

И теперь правую часть разделим и умножим на λ

где — это среднее время пребывания события внутри системы, т. е. среднее время обслуживания события.

L_сист =T_обсλ или

(17)

Выражение (17) называется формулой Литтла. Для любой СМО среднее время обслуживания события (заявки) равно среднему числу событий в СМО, делённому на интенсивность входного потока событий.

Формулу Литтла можно вывести и для времени ожидания обслуживания событием

(18)

где L_ож — среднее число событий в очереди на обслуживание (средняя длина очереди).