Одноканальная СМО с неограниченной очередью

СМО такого вида распространены достаточно широко. Это и очередь на прием к врачу, и очередь на проезд по мосту при движении с одной полосой, и очередь на вход в автобус при наличии устройства автоматизированного контроля проезда пассажиров и т.д. Такие СМО можно представить с помощью размеченного графа, представленного на рис. 6.

l l l l

m m m m

Рис. 6. Одноканальная СМО с неограниченной очередью

Под неограниченной очередью будем понимать, что количество заявок, поступивших на обслуживание, не ограничено и время обслуживания каждой заявки произвольное, но все заявки рано или поздно будут обслужены. В этом случае нет смысла говорить об абсолютной пропускной способности (А =λ) и об относительной пропускной способности (Q = 1).

Каждая вновь поступившая заявка будет переводить СМО в новое состояние S с увеличением индекса на 1, т. е. слева направо. А каждая обслуженная заявка будет уменьшать индекс состояния S на 1, т. е. перемещение по графу справа налево. Так как в каждый момент времени обслуживается только одна заявка (одноканальная СМО), то все интенсивности поступления заявок равны λ и все интенсивности обслуживания заявок равны µ. В специальной литературе доказывается, что при неограниченном числе состояний СМО финальные вероятности отсутствуют. Для данного случая финальные вероятности существуют с учетом наложенных ограничений: все заявки рано или поздно будут обслужены и выполняется условие:

(19)

Используя формулы (10) — (13) и (14), определим финальные вероятности событий.

(20)

Учитывая, что 1 + ρ + ρ² +ρ³+... + ρ^m +... =1/(1-ρ), получаем значение финальной вероятности события S0:

Ро=1-ρ. (.21)

Финальные вероятности последующих событий будут определены как:

P1 = ρP0; р2 = ρ²Ро; pз = ρ³P0; ••• Рm = ρ^mPо; ••• (22)

Вычислим среднее число заявок в СМО. Так как количество заявок может принимать значения 0, 1, 2, 3,..., m,..., то можно записать:

L_сист=0P0+1P1+2P2+3P3+…mPm+..=

Далее, раскрыв значение р_m, и выполнив дифференцирование, получим:

(23)

Применив формулу (17), определим время обслуживания заявки

(24)

Определим среднюю длину очереди (среднее число заявок, ожидающих обслуживания). Так как рассматриваемая нами СМО одноканальная, то обслуживаться может только одна заявка, а остальные заявки ждут своей очереди.

Вероятность такого события (занятости одного канала) будет равна Р_зан = 1 – Р0 = ρ. Так как СМО обслуживает только одну заявку, то Lобсл = ρ.

Длина очереди есть разница между общим числом заявок и заявками, находящимися в обслуживании, тогда:

(25)

Среднее время пребывания заявки в очереди можно определить

. (26)

Все характеристики одноканальной СМО определены.

Пример.3

На оптовую базу поступают на разгрузку три автомобиля в час (λ = 3). Среднее время разгрузки (Тобс) одного автомобиля — 10 мин. Определить характеристики одноканальной СМО с неограниченной очередью.

Решение

Определим интенсивность обслуживания автомобилей