Многоканальная СМО с ограниченной очередью

Примерами многоканальных СМО могут быть: морской порт, имеющий несколько стенок для обработки судов; овощная база, имеющая несколько площадок для обработки товаров и т.д. Для вычисления характеристик СМО воспользуемся теми же приемами, которые были рассмотрены в одноканальной СМО с неограничен­ной очередью.

Определим численные значения следующих характеристик:

P0 — вероятности простоя каналов обслуживания;

Р_отк— вероятности отказа в обслуживании;

Р_обс — вероятности обслуживания;

n_з— среднего числа каналов, занятых обслуживанием;

к_з — доли каналов, занятых обслуживанием;

А — абсолютной пропускной способности (среднего количества заявок, обслуженных за единицу времени);

Q — относительной пропускной способности (среднего значения обслуженных заявок).

Размеченный граф такой СМО представлен на рис. 8.

λ λ λ λ

Sn

Sm

S2

S1

S0

µ 2µ 3µ mµ (m+1)µ nµ

Рис. 8. Многоканальная СМО с ограниченной очередью

Данная СМО имеет n каналов с одинаковыми техническими ха­рактеристиками. В данном случае СМО может находиться в одном из состояний:

S0— заявки отсутствуют;

S1 — поступила одна заявка и она обслуживается первым кана­лом, остальные каналы простаивают;

S2 — во время выполнения первой заявки поступила вторая за­явка. Вторая заявка обслуживается вторым каналом. Остальные ка­налы простаивают;

S3 — во время выполнения двух заявок поступила третья заявка. Третья заявка обслуживается третьим каналом. Остальные каналы простаивают и т. д.;

Sn— во время выполнения n - 1 заявок поступила заявка n, ко­торая обслуживается n-м каналом. Все каналы заняты. Последую­щим заявкам будет отказано в обслуживании, если ко времени по­ступления очередной заявки не освободится ни один канал.

Заявки на обслуживание поступают произвольно с интенсивно­стью λ. При поступлении второй заявки ее обрабатывает второй ка­нал, и интенсивность обслуживания заявок СМО удваивается и рав­на 2µ. При поступлении третьей заявки в работу включается третий канал и интенсивность обслуживания заявок становится равной Зµ и т.д. Максимально возможная интенсивность обработки заявок СМО будет равна nµ

Используя формулу (20), учитывая, что используется n кана­лов и выполняя необходимые преобразования, получаем:

Финальная вероятность события S0:

(27)

или, заменяя λ/µ на ρ, получаем:

(28)

Финальные вероятности последующих событий:

P1=ρP0; (29)

Вероятность отказа в обслуживании:

(30)

Относительная пропускная способность:

(31)

Абсолютная пропускная способность:

(32)

Среднее число занятых каналов:

(33)

Пример 8.4

На автозаправочной станции имеется четыре колонки по отпус­ку моторного топлива. Каждые три минуты прибывает автомобиль на заправку (λ = 3). Среднее время обслуживания одного автомоби­ля (Тобс) равно 1 мин. Определить финальные вероятности состоя­ний СМО (pi), вероятность отказа в обслуживании (Ротк), относи­тельную пропускную способность (Q, абсолютную пропускную способность (А) и среднее число занятых каналов (k,).

Решение

Определим интенсивность обслуживания заявок µ:

По формуле (28) определим финальную вероятность для со­бытия S0:

По формулам (29) определим остальные финальные вероятности: P1 = ρр0 = 3*0,061 =0,1832;

P2=9/2*0,061=0,2745;

Pз = 4,5*0,061 =0,2745; р4 = 3,375*0,061 =0,2059.

Определим вероятность отказа в обслуживании по формуле (30): Pотк=Р4=0,2059.

Определим относительную пропускную способность по форму­ле (31):

Q=1- Ротк = 1 - 0,2059 = 0,7941.

Определим относительную пропускную способность по форму­ле (32):

A = λQ = 3*0,7941 =2,3823.

Определим среднее число занятых каналов по формуле (33): k₃=А /µ= 2.3823