Выбор уравнения тренда

Отображающего развитие социально – экономических явлений во времени. Для отображения основной тенденции развития явлений во времени применяются полиномы разной степени, экспоненты, логистические кривые и другие функции.

Полиномы имеют следующий вид:

где а0, а1, а2,…,ап – параметры полиномов; t – условное обозначение времени.

В статистической практике параметры полиномов невысокой степени иногда имеют конкретную интерпретацию характеристик динамического ряда. Так, параметр а0 трактуется как характеристика средних условий ряда динамики, параметры а1, а2, а3 – изменение ускорения.

В статистике выработано правило выбора степени полинома модели развития, основанное на определении величин конечных разностей уровней динамических рядов. Согласно этому правилу полином 1-й степени (прямая) применяется как модель такого ряда динамки, у которого первые разности (абсолютные приросты) постоянны; полиномы 2 – й степени – для отражения ряда динамики с постоянными вторыми разностями (ускорениями); полиномы 3-й степени – с постоянными третьими разностями и т.д.

Для полиноминальных моделей характерно отсутствие прямой связи между абсолютными приростами и приростами уровней рядов динамики.

Предполагаемой функцией, отражающей процесс роста явления, может быть и экспонента:

Экспоненты характеризуют прирост, зависящий от величины основания функции.

Отдельные уравнения выражают различные типы динамики.

Монотонное возрастание или убывание процесса характеризуют функции:

- линейная;

- параболическая;

- степенная;

- экспоненциальная простая (показательная) и производная от нее логарифмическая линейная;

- сложная экспоненциальная и производная от нее логарифмическая парабола;

- гиперболическая (главным образом убывающих процессов);

- комбинация их видов.

Для моделирования динамических рядов, проявляющих быстрое развитие в начале ряда и затухающее его развитие к концу, т.е. тех, которые характеризуются стремлением к некоторой предельной величине, применяются логистические функции.

Логистическую функцию часто записывают в следующем виде:

Тип процессов, характеризующийся наличием экстремальных значений, описывается кривой Гомперца,имеющей следующее уравнение:

Возможны четыре варианта этой кривой. Для экономистов наибольшее значение имеет кривая, у которой lg0<0 и а1<1.

Для выбора уравнений пользуются формулой стандарнтой ошибки:

Так же применяют критерий наименьших сумм квадратов отклонения эмпирических уровней от теоретических

Из множества возможных уравнений тренда можно выбрать то уравнение, которому соответствует минимальное значение, т.е. критерий наименьших квадратов отклонений, либо использовать формулу средней ошибки аппроксимации:

Все эти характеристики имеют один и тот же смысл: показывают, как близко аналитическая функция выравнивания огибает все значения исходного ряда. Наиболее часто в качестве меры точности аппроксимации выбирают остаточную дисперсию или остаточное среднее квадратическое отклонение.

После того как выяснен характер кривой развития, необходимо определить ее параметры. Элементарный метод определения параметров уравнения тренда, описанного полиномом или экспонентой, состоит в решении системы уравнений по известным уровням ряда динамики.

Отрицательным моментом такого моделирования тренда могут служить числовые выражения параметров в различных точках их определения.

Другим способом определения параметров уравнения является метод средних значений (линейных отклонений), заключающийся в следующим: ряд расчленяется примерно на две равные части и вводится требование, чтобы сумма выравненных значений в каждой части совпадала с суммой фактических значений, т.е. чтобы сумма отклонений фактических данных от выравненных равнялась нулю.

В случае выравнивания по прямой линии:

Метод средних значений прост и требует минимального количества вычислений. Его недостаток заключается в том, что при произвольном расчленении ряда на две части мы будем получать разные результаты. Метод средних значений, как и выравнивание ряда динамики с помощью среднего прироста и темпа роста, может применяться для ориентировочных расчетов.