2015-05-06
591
Опишем ДВП в матричном виде, а затем – на основе банков фильтров, что наиболее часто используется при обработке сигналов.
В обоих случаях предполагают, что базисные функции 
и 
компактно определены. Это автоматически гарантирует финитность последовательностей 
и 
. Далее предположим, что сигнал, подвергаемый преобразованию, имеет длину 
.
Обозначим через вектор 
последовательность конечной длины 
для некоторого 
. Этот вектор преобразуется в вектор 
, содержащий последовательности 
и 
, каждая из которых половинной длины. Преобразование может быть записано в виде матричного умножения 
, где матрица 
- квадратная и состоит из нулей и элементов , умноженных на 
. В силу свойств матрица 
является ортонормированной, и обратная ей матрица равна транспонированной. В качестве иллюстрации рассмотрим следующий пример. Возьмем фильтр длиной 
, последовательность длиной 
, а в качестве начального значения - 
. Последовательность получим из по формуле (7.16), где 
. Тогда операция матрично-векторного умножения будет представлена в виде:
|
|
|
(7.18)
Обратное преобразование тогда выполняется как умножение на обратную матрицу 
:
(7.19)
Таким образом, выражение (7.18) - это одна итерация (или один этап) ДВП. Полное ДВП заключается в итеративном умножении верхней половины вектора на квадратную матрицу 
, размер которой 
. Эта процедура может повторяться d раз, пока длина вектора не станет равна 1.
В четвертой и восьмой строках матрицы (7.18) последовательность циклически сдвинута: коэффициенты, выходящие за пределы матрицы справа, помещены в ту же строку слева.
Ранее рассматривалось субполосное преобразование, как фильтрация с последующим прореживанием в два раза. В данном случае имеется два фильтра и , т.е банк фильтров – двухполосный и может быть изображен, как показано на рис.2.2.
Фильтры F и E означают фильтрацию фильтрами 
и 
, соответственно. В нижней ветви схемы выполняется низкочастотная фильтрация. В результате получается некоторая аппроксимация сигнала, лишенная деталей низкочастотная (НЧ) субполоса. В верхней части схемы выделяется высокочастотная (ВЧ) субполоса. Отметим, что при обработке сигналов константа 
всегда выносится из банка фильтров и сигнал домножается на 2.
Итак, схема рис. 7.1 делит сигнал уровня на два сигнала уровня 
. Далее, вейвлет-преобразование получается путем рекурсивного применения данной схемы к НЧ части. При осуществлении вейвлет-преобразования изображения каждая итерация алгоритма выполняется вначале к строкам, затем – к столбцам изображения (строится так называемая пирамида Маллата).
Рис. 7.1. Схема двухполосного банка фильтров
|
|
|
