Целочисленное вейвлет-преобразование

Рассмотрим методы получения целочисленных вейвлет-коэффициентов изображения. Эти методы могут быть применены для сжатия изображения, как без потерь, так и с потерями. В основе рассматриваемых методов лежит некоторая модификация вейвлет-преобразования, позволяющая производить все вычисления в целочисленном виде. Полученное преобразование не является, строго говоря, вейвлет-преобразованием, но обладает всеми его свойствами [3]. Теоретически при вейвлет-преобразовании потери информации не происходит. Однако при реализации возникают неизбежные ошибки округления вейвлет-коэффициентов. Вместе с тем, в некоторых приложениях обработки изображений полная обратимость преобразования является важной.

Целочисленное вейвлет-преобразование позволяет достичь полного контроля над точностью вычислений. Поэтому оно получило название обратимого вейвлет-преобразования. Кроме того, целочисленность вычислений ускоряет выполнение преобразования.

Рассмотрим два примера, поясняющие обсуждаемые далее методы. Для простоты все выкладки производятся для одного уровня разложения и для одномерного сигнала четной длины. Пусть - исходный сигнал, где верхний индекс показывает уровень разложения (0), нижний – конкретную точку сигнала. Пусть и - составляющие его разложения на первом уровне (низкочастотная и высокочастотная части, соответственно). Здесь .

Целочисленное вычисление вейвлет–преобразование (2,2). Это преобразование эквивалентно вейвлет-преобразованию Хаара, использующему следующие фильтры декомпозиции:

(7.20)

Вычисление ведется следующим образом:

, (7.21)

, (7.22)

(7.23)

В выражениях (7.22), (7.23) означает операцию выделения целой части. Таким образом, все элементы и будут целыми числами. Из (7.21)-(7.23) легко получить алгоритм реконструкции:

, (7.24)

. (7.25)

Вейвлет-преобразование Лэйзи. Вейвлет-преобразование Лэйзи заключается в простом разбиении входного сигнала на четную и нечетную части. На этапах декомпозиции и реконструкции используются одни и те же формулы:

(7.26)

Преобразования, используемые в этих примерах, не подходят для кодирования изображений. Однако на их основе могут быть получены значительно более эффективные преобразования. Они могут рассматриваться как стартовая точка для получения алгоритмов целочисленного обратимого вейвлет-преобразования.

Отметим интересное свойство вышеприведенных преобразований. Оно заключается в том, что если пиксели изображения представляются некоторым числом бит, то такое же число бит может быть использовано в компьютере для представления значений вейвлет-коэффициентов. Данное свойство преобразования получило название свойства сохранения точности.

Целочисленное вычисление вейвлет –преобразования (1,3). Это нелинейное преобразование является разновидностью преобразования, использующего биортогональную пару фильтров: , . Вычисления начинаются с вейвлета Лэйзи (7.26) с последующим изменением высокочастотных коэффициентов:

(7.27)

Реконструкция выполняется следующим образом:

, (7.28)

(7.29)

Целочисленное вычисление вейвлет-преобразования (2,6). Данное преобразование эквивалентно использованию следующих фильтров анализа:

Декомпозиция выполняется аналогично преобразованию Хаара с добавлением еще одного шага. Вначале производятся вычисления по формулам (7.21)-(7.23). Вместо в данных формулах теперь используется обозначение . Затем производится изменение высокочастотных коэффициентов по формулам:

(7.30)

. (7.31)

Алгоритм реконструкции аналогичен алгоритму декомпозиции. Он выполняется в «обратном» порядке:

(2.32)

(2.33)

и, далее, по формулам (7.24)-(7.25) с заменой в них на .

Целочисленное вычисление вейвлет –преобразования (5,3). Такое преобразование также является разновидностью биортогонального преобразования и использует следующую пару фильтров:

, .