Для изучения вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси воспользуемся теоремой об изменении момента количества движения (кинетического момента) механической системы относительно оси (3.10):
dKz / dt = Mze. (3.11)
Пусть на твердое тело, имеющее неподвижную ось вращения z (рисунок 3.4), действует система заданных внешних активных сил (F 1, F 2, F 3,. .., Fn), определяющих угловую скорость ω и угловое ускорение ε этого тела в его вращательном движении вокруг оси z. Одновременно на это же тело действуют силы реакции RA подпятника и RB радиального подшипника.
Определяем правую часть уравнения (3.11):
Mze = ∑ Mz ( Fje ) + M z ( RA ) + M z ( RB ).
Поскольку Mz ( RA ) = M z ( RB ) = 0, то Mвращ = Mze = ∑ Mz ( Fje ).
Рисунок 3.4
Найдем момент количества движения (кинетический момент) Kz вращающегося твердого тела. Для этого выделим точку Mj тела на расстоянии rj от оси вращения и имеющую скорость Vj = ω ⋅ rj. Очевидно, что Kzj = mj ⋅ Vj ⋅ rj = mj ⋅ ω ⋅ rj 2. Тогда момент количества движения (кинетический момент) всего вращающегося тела будет:
|
|
Kz = ∑ Kzj = ∑ mj ⋅ ω ⋅ rj 2,
где ∑ mj ⋅ rj 2 = Jz.
Следовательно, окончательно будем иметь
Kz = Jz ⋅ ω. (3.12)
Подставляя в уравнение (3.11) выражение (3.12), получаем
Jz ⋅ dω/dt = M вращ,
или
Jz ⋅ d 2 φ /dt 2 = Mвращ. (3.13)
Уравнение (3.13) представляет собой дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.
Поскольку dω/dt = ε, имеем
ε = Mвращ / Jz. (3.14)
Полученное выражение (3.14) показывает, что осевой момент инерции Jz тела следует рассматривать как меру инертности твердого тела при его вращательном движении вокруг неподвижной оси.