Кинетический момент материальной системы относительно неподвижной оси

Материальной системой, в дальнейшем просто системой, будем называть совокупность материальных точек, движения которых взаимосвязаны.

Кинетический момент точки относительно неподвижной оси есть момент количества движения точки относительно этой оси, т. е.

. Вычисляется этот момент подобно тому, как в статике вычислялся момент силы относительно оси. Вначале надо провести плоскость , перпендикулярную оси (рис. 2.1), и отметить точку пересечения оси с этой плоскостью; далее надо вектор спроектировать на плоскость и опустить из точки перпендикуляр на прямую, являющуюся про­дол­же­ни­ем проекции ; затем надо вы­чис­лить кинетический момент точки отно­сительно оси по формуле . (2.1) Знак “плюс” в формуле (2.1) ставится, когда точка поворачивается вокруг оси против часовой стрелки (как, например, на рис. 2.1); знак “минус” – когда поворот происходит по часовой стрелке.

Если материальная точка участвует в сложном движении, то абсолютное количество движения такой точки раскладывается на переносное и относительное , а кинетический момент точки относительно оси вычисляется как алгебраическая сумма моментов этих составляющих, т. е.

(2.2)

Например, для колечка массой (рис. 2.2), движущегося с отно­си­тельной скоростью по стержню , который вращается вокруг оси с угловой скоростью , кинетический момент вычисляется как Здесь учтено, что . Кинетический момент системы относительно неподвижной оси равен алгебраической сумме моментов количества движения всех точек системы относительно оси, т. е. . Если в состав системы входит тело, вращающееся вокруг оси , то кинетический момент этого тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела на его угловую скорость , т. е.

, (2.3)

знак “плюс” ставится при вращении тела против часовой стрелки, знак “минус” – при вращении по часовой стрелке.

При вычислении системы, состоящей из вращающихся тел и материальных точек, надо вначале найти кинетические моменты этих тел и точек по формулам (2.1)–(2.3), а затем определить их алгебраическую сумму. Например, для подъемного механизма (рис. 2.3), состоящего из рукоятки 1 мас­сой и длиной , барабана 2 массой и радиусом , груза 3 массой , кинетический момент относительно оси вычисляется как , (а) где – кинетические моменты соответственно рукоятки, барабана и груза. Будем считать рукоятку 1 однородным тонким стержнем, а барабан – однородным сплошным цилиндром. Тогда их моменты инерции относительно оси можно определить по известным формулам:

.

Считая угловую скорость барабана заданной и учитывая, что , найдем:

● по формуле (2.3) ;

,

● по формуле (2.1) .

Подставляя эти результаты в (а), после преобразования получим

.