Доказать приближенную формулу потенциальной энергия системы с одной степенью свободы при малых отклонениях от положения устойчивого равновесия

Система, на которую наложены голономные, идеальные удерживающие и стационарные связи, состоит из N материальных точек и движется около положения устойчивого равновесия системы, где .

Разложим потенциальную энергию в степенной ряд в окрестности положения равновесия :

(1).

1-ый член в разложении (1) равен нулю, так как потенциальная энергия в положении равновесия равна нулю.

2-ой член в этом разложении равен обобщенной силе, которая в положении равновесия также равна нулю.

В силу малости колебаний потенциальная энергия должна содержать члены не выше II порядка.

Тогда: .

Коэфф. при второй степени обобщенной координаты обозначим через «с» - обобщенный коэфф. жесткости. С учетом введенного обозначения: .