Доказать приближенную формулу кинетической энергия системы с одной степенью свободы при малых отклонениях от положения устойчивого равновесия

Система, на которую наложены голономные, идеальные удерживающие и стационарные связи, состоит из N материальных точек и движется около положения устойчивого равновесия системы, где .

Кинетическая энергия системы: .

Радиус-вектор каждой точки системы зависит только от обобщенной координаты q(t): . , следовательно, кинетическая энергия равна: (1).

Разложим функцию A(q) в окрестности положения равновесия () в ряд Маклорена:

(2).

Все величины вычислены при . В силу малости колебаний в выражении (1) удержим величины не выше II порядка малости, но так как в нем уже содержится величина II порядка - , то в разложении (2) удержим только первый постоянный член, который обозначим «a». Приближенное выражение кинетической энергии: . «а» - коэфф. инерции. - квадрат обобщенной скорости.