Теорема об изменении кинетической энергии точки

Рассмотрим точку с массой т, перемещающуюся под действием при­ложенных к ней сил из положения M₀, где она имеет скорость ,, в положение М₁, где ее скорость равна .

Для получения искомой зависимости обратимся к уравнению m =Σ выражающему основной закон динамики. Проектируя обе части этого равенства на касательную M_τ к траектории точ­ки М, направленную в сторону движения, получим:

m =Σ

Стоящую слева величину касательного ускорения можно пред­ставить в виде

.

В результате будем иметь:

ΣF_kτ.

Умножив обе части этого равенства на ds, внесем т под знак дифференциала. Тогда, замечая, что ΣF_kτds = dA_к где dA_k - эле­ментарная работа силы F_k получим выражение теоремы об изме­нении кинетической энергии в дифференциальной форме:

ΣdA_k.

Проинтегрировав теперь обе части этого равенства в пределах, соответствующих значениям переменных в точках M₀ и M₁, найдем окончательно:

Σ А(М₀М₁).

Уравнение выражает теорему об изменении кине­тической энергии точки в конечном виде: изменение кинетической энергии точки при некотором ее перемещении равно алгебраической сумме работ всех действующих на точку сил на том же перемещении.