Теорема об изменении момента количества движения точки (теорема моментов)

Из двух основных динамических харак­теристик, величина m является векторной. Иногда при изучении движения точки вместо изменения самого вектора m оказывается необходимым рассматривать изменение его момента. Мо­мент вектора m относительно данного центра О или оси z обозна­чается т_O ( m ) или m_Z ( m ) и называется соответственно моментом количества движения или кинетическим моментом точки отно­сительно этого центра (оси). Вычисляется момент вектора m так же, как и момент силы. При этом вектор m считается приложенным к движущейся точке. По модулю т_O (m ) | = mvh, где h- длина перпендикуляра, опущенного из центра О на направление вектора m (рис.10,a).

Теорема моментов отно­сительно центра. Найдем для ма­териальной точки, движущейся под дей­ствием силы F (рис.10,а), зависимость между моментами векторов т и отно­сительно какой-нибудь неподвижного центра О. В конце было показано, что m₀(F)= .

Аналогично т_O(m )= .

При этом вектор m₀( ) направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через центр О и вектор , а вектор т_O(m )- перпендикулярно плоскости, проходящей через центр О и вектор m .

Рис.10

Дифференцируя выражение m_O(m ) по времени, получаем:

.

Но , как векторное произведение двух параллельных векторов, a . Следовательно,

или .

В результате мы доказали следующую теорему моментов относительно центра: производная по времени от момента количества движения точки, взятого относительно какого-нибудь неподвижного центра, равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра. Аналогичная теорема имеетместо для моментов вектора т силы относительно какой-нибудь оси z, в чем можно убедиться, проектируя обе части равенства на эту ось. Ма­тематическое выражение теоремы моментов относительно оси дается формулой .