Лекция 2. Работа. Мощность. Теорема об изменении кинетической энергии точки

В данной лекции рассматриваются следующие вопросы:

1. Работа силы.
2. Мощность.
3. Примеры вычисления работы.
4. Теорема об изменении кинетической энергии точки.
5. Теорема моментов.
6. Относительное движение точки.
7. Уравнения относительного движения и покоя точки.
8. Влияние вращения Земли на равновесие и движение тел.

Изучение данных вопросов необходимо для динамики движения центра масс механической системы, динамики вращательного движения твердого тела, кинетического момента механической системы, для решения задач в дисциплинах «Теория машин и механизмов» и «Детали машин».

Работа силы. Мощность.

Для характеристики действия, оказываемого силой на тело при некотором его перемещении, вводится понятие о работе силы.

Рис.5

При этом работа характеризует то действие силы, которым определяется изменение модуля скорости движущейся точки.

Введём сначала понятие об элементарной работе силы на бесконечно малом перемещении ds. Элементарной работой силы (рис.5) называется скалярная величина:

dA=F_τds,

где F_τ -проекция силы на касательную к траектории, направленную в сторону перемещения точки, а ds-бесконечно малое перемещение точки, направленное вдоль этой касательной.

Данное определение соответствует понятию о работе, как о ха­рактеристике того действия силы, которое приводит к изменению модуля скорости точки. В самом деле, если разложить силу на составляющие и , то изменять модуль скорости точки будет только составляющая , сообщающая точке касательное ускорение Составляющая же или изменяет направление вектора скорости v (сообщает точке нормальное ускорение), или, при несвободном дви­жение изменяет давление на связь. На модуль скорости составляю­щая влиять не будет, т.е., как говорят, сила «не будет про­изводить работу».

Замечая, что F_τ=Fcosα, получаем: .

Таким образом, элементарная работа силы равна проекции силы на направление перемещения точки, умноженной на элементар­ное перемещение ds или элементарная работа силы равна произведению модуля силы на элементарное перемещение ds и на косинус угла между направлением силы и направлением перемещения.

Если угол а острый, то работа положительна. В частности, при α=0 элементарная работа dA=Fds.

Если угол α тупой, то работа отрицательна. В частности, при α=180˚ элементарная работа dA=-Fds.

Если угол α=90˚, т. е. если сила направлена перпендикулярно перемещению, то элементарная работа силы равна нулю.

Найдем аналитическое выражение элементарной работы. Для этого разложим силу на составляющие , , по направлениям координатных осей (рис.6; сама сила на чертеже не показана).

Элементарное перемещение ММ’=ds слагается из перемещений dz, dy, dz вдоль координатных осей, где x, y, z-координаты точки М. Тогда работу силы на перемещении ds можно вычислить как сумму работ её составляющих , , на перемещениях dz, dy, dz.

Рис.6

Но на перемещении dx совершает работу только составляющая , причем её работа равна F_Xdx. Работа на перемещениях dy и dz вычисляется аналогично. Окончательно находим: dA=F_Xdx+F_Ydy+F_Zdz.

Формула дает аналитическое выражение элементарной работы силы.

Работа силы на любом конечном перемещении М₀М₁ вычисляется как интегральная сумма соответствующих элементарных работ и будет равна:

А(М₀М₁)₌ Fτds
или

А(М₀М₁)= (F_xdx+F_ydy+F_zdz).

Следовательно, работа силы на любом перемещении М₀М₁ равна взятому вдоль этого перемещения интегралу от элементарной работы. Пределы интеграла соответствуют значениям пере­менных интегрирования в точках М₀ и М₁.

Рис.7

Если величина F_τ постоянна (F_τ = const), то и обозначая перемеще­ние М₀М₁ через s₁ получим: А_(М0М1)= F_τs₁.

Такой случай может иметь место когда действующая сила постоянна по модулю и направлению (F= const), а точка, к ко­торой приложена сила, движется прямолинейно (рис.7}. В этом случае F_τ=F Сosα= const и работа силы А_(М0М1)=Fs₁cosα.

Единицей измерения работы в системе СИ является джоуль (1 дж= 1 hm).