Физический маятник

Физическим маятником называется твёрдое тело, которое может совершать колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси под действием силы тяжести.

А) б)

Рис.30

Изобразим сечение маятника плоскостью, перпендикулярной оси подвеса и проходящей через центр масс маятника С (рис.30а).

Введём обозначения: Р – вес маятника, а – расстояние ОС от центра масс до оси подвеса, J₀ – момент инерции маятника относительно оси подвеса. Положения маятника будет определять угол j отклонение линии ОС от вертикали.

Для определения закона колебаний маятника воспользуемся дифференциальным уравнением вращательного движения. В данном случае (знак минус взят потому, что при j > 0 момент отрицателен, а при j < 0 – положителен) и уравнение принимает вид:

Деля обе части равенства на J₀ и вводя обозначение

найдём дифференциальное уравнение колебаний маятника в виде

Полученное дифференциальное уравнение в обычных функциях не интегрируется. Ограничимся рассмотрением малых колебаний маятника, считая приближенно sinj» j (это можно сделать, когда угол j меньше одного радиана). Тогда будем иметь

Это дифференциальное уравнение совпадает по виду с дифференциальным уравнением свободных прямолинейных колебаний точки, и его общее решение по аналогии имеет вид:

Полагая, что начальный момент t = 0 маятник отклонён на малый угол j = j₀ и отпущен без начальной скорости (w₀ = 0), найдём для постоянных интегрирования значения: С₁ = 0, С₂ = j₀. Тогда закон малых колебаний маятника при данных начальных условиях будет:

Следовательно, малые колебания физического маятника являются гармоническими. Период малых колебаний физического маятника, если заменить k его значением, определяется формулой:

Полученные результаты охватывают и случай так называемого математического маятника, т.е. груза малых размеров (которые будем рассматривать как материальную точку), подвешенного на нерастяжимой нити длиной l, массой которой, по сравнению с массой груза, можно пренебречь(рис.30б). Для математического маятника, т.к. он представляет собой систему, состоящую из одной материальной точки, очевидно, будет

Подставляя эти величины в равенство T_ф, найдем, что период малых колебаний математического маятника определяется формулой

Из сравнения формул Т_ф и Т_м видно, что при длине

период колебаний математического маятника совпадает с периодом колебаний соответствующего физического маятника.

Длина l₁ такого математического маятника, период колебания которого равен периоду колебаний данного физического маятника, называется приведенной длиной физического маятника. Точка K, отстоящая от оси подвеса на расстоянии OK=l₁, называется центром качания физического маятника (рис.30).

Замечая, что по теореме Гюйгенса мы можем привести формулу к виду