Вязкость воздуха

Вязкость жидкости обуславливает появление сил трения, когда различные части жидкости имеют разную скорость движения. Вязкость жидкости связана с обменом количеством движения между соседними слоями за счет переходов молекул из слоя в слой и соударений. Таким образом, вязкость – макрофизическое проявление микрофизических свойств среды.

Пусть на уровнях z и z+dz скорости движения в горизонтальном направлении равны соответственно u и u+du. Молекулы жидкости или газа, двигаясь в общем потоке, совершают также хаотические тепловые движения. Переходя с одного уровня на другой, они приносят с собой количество переносного движения, характерное для своего «родного» уровня. Соударяясь с молекулами принимающего уровня, эти «выскочки» сообщают или отнимают дополнительное количество движения и в результате увеличивают или уменьшают количество движения, характерное для заданного уровня.

Всякое изменение количества движения (импульса), согласно второму закону Ньютона, можно рассматривать как результат действия некоторой силы. Очевидно, что эта сила пропорциональна площади соприкосновения двух слоев. Сила трения, отнесенная к единице поверхности, называется напряжением молекулярного трения. Очевидно также, что она должна быть пропорциональна скорости изменения скорости потока в направлении перпендикулярном поверхности [9]:

.

Коэффициент пропорциональности η – называется динамическим коэффициентом вязкости. Отношение ν=η/ρ называют кинематическим (или удельным) коэффициентом вязкости. Размерности названных величин: [ η ]=кг/(м·с); [ ν ]=м²/с; [ τ_zx ]=Н/м². В таблице 14.1 приведены значения коэффициентов вязкости для некоторых случаев [36]. Обратите внимание, что кинематическая (удельная) вязкость воздуха получается намного большей, чем у воды.

Чтобы подсчитать результирующую силу трения, действующую на выделенный объем воздуха, нужно учесть влияние трения со стороны вышележащих и нижележащих слоёв. Пусть объём имеет форму параллелепипеда с основанием 1м² и высотой dz, а поток движется в направлении x (горизонтально). Тогда результирующая сила в направлении x:

.

На единичный объем получается (делим на dz):

а на единицу массы получим:

.

Если же скорость u зависит также от x и y (здесь координата y эквивалентна z, а для координаты x результат получается несколько сложнее), то:

.

Объект τ в виде совокупности 9-ти величин τ_ij называют тензором вязких напряжений. Если величина η = const, то вектор силы вязкости можно записать следующим образом:

.

Здесь оператор Лапласа D действует на каждую компоненту вектора скорости. Например,

.

Чем меньше масштаб движения (то есть, на меньших расстояниях происходит заметное изменение величины скорости - | V |), тем больше силы трения, тем больше их роль в движении атмосферы. В частности, для крупномасштабных движений, типа общей циркуляции, трением можно пренебречь именно вследствие малости производных ∂² V /∂ x ², ∂² V /∂ y ² и, тем более, ∂² V /∂ z ² для соответствующих масштабов движения.

Масштаб – это не произвольная величина, это характерный размер (длина), на котором движение претерпевает существенные изменения. С учетом турбулентности в реальных воздушных течениях присутствуют движения различных масштабов. В зависимости от выбора интересующего нас масштаба получается соответствующая оценка роли молекулярного трения.

Таблица 14.1. Коэффициенты вязкости для некоторых жидкостей и газов

	, г/см·с	, см2/с
Вода	0.01	0.01
Воздух	0.00018	0.150
Спирт	0.018	0.022
Глицерин	8.5	6.8
Ртуть	0.0156	0.0012

МД 2.5.. Уравнения движения

Итак, на воздушную частицу действуют сила тяжести, сила, обусловленная градиентом давления, сила Кориолиса и сила вязкого трения. Согласно 2-му закону Ньютона:

.

Если теперь перейти от индивидуальной производной d V / dt к локальной, получим

. (14.14)

К этим трём (для трех составляющих скорости) уравнениям следует добавить:

а) уравнение непрерывности для плотности воздуха

; (14.15)

б) уравнение состояния воздуха

; (14.16)

в) уравнение адиабаты

. (14.17)

Получается шесть уравнений для шести неизвестных (V, p, ρ, T). Система приведенных уравнений получила название «уравнения погоды». Если имеется приток тепла (например, от излучения), то вместо уравнения адиабаты нужно использовать , которое получается из первого начала термодинамики при dQ ≠ 0. Здесь все производные - индивидуальные и на самом деле должны быть заменены на Появившаяся новая переменная Q требует дополнительного уравнения притока тепла для своего определения.

«Уравнения погоды» существенно нелинейны [10], и получить их решение в общем случае невозможно.

[1] Здесь мы рассматриваем несколько упрощенную ситуацию. Более общий случай заключается в том, что имеются три системы координат: основная (инерциальная); система координат с осями, всегда параллельными исходной, движущаяся по отношению к первой; и, наконец, система координат, имеющая общее начало со второй и вращающаяся относительно второй системы. Рассмотрение этого более общего случая не намного сложнее, чем проводимое ниже. Вектор W определяет не только угловую скорость, но и ось, вокруг которой происходит вращение.

[2] В дальнейшем мы практически всюду будем пользоваться горизонтальной системой координат. В этой системе, жестко связанной с вращающейся Землей, начало системы координат находится на поверхности Земли, ось z в данной точке земной поверхности направлена в зенит, ось x – по параллели на восток, ось y – на север). Составляющие вектора скорости вдоль осей обозначаются соответственно.

[3] Жан Бернар Леон Фуко (Foucault, 1819-1868) – французский физик, в 1851 г. осуществил свой знаменитый опыт с маятником.

[4] Выражение (14.7) проще всего получить, если записать полный дифференциал функции:, а затем разделить на.

[5] Например, для x -компоненты скорости имеем

,

откуда и следует приведенное выше соотношение.

[6] В качестве «меток» частицы необязательно использовать ее координаты в какой то момент времени. Можно использовать любые другие характеристики, позволяющие выделить конкретную частицу из других. В частности, иногда в качестве одной из характеристик используют энтропию или, что то же самое, потенциальную температуру. Очевидно, что используемые в качестве «метки» характеристики должны быть независимы друг от друга, и их число для полной идентификации частицы, движущейся в трехмерном пространстве, должно равняться 3. Так, если в качестве одной из «меток» выбрана энтропия, и движение частицы происходит адиабатически, двумя другими «метками» частицы воздуха могут быть две ее координаты в некоторый момент времени на изэнтропической поверхности, по которой происходит движение.

[7] Более детальные сведения о связи формализмов Эйлера и Лагранжа, линий тока и траекторий см. в [51].

[8] В неинерциальной вращающейся системе действует также центробежная сила. Она мала, и её можно учесть, введя коррекцию вектора g с учётом широты местности. При желании, можно также учесть зависимость g от расстояния до поверхности Земли. Все это делается, например, при расчете геопотенциала.

[9] Обозначение указывает, что речь идет о напряжении в плоскости, перпендикулярной оси z, по направлению x.

[10] Нелинейность означает, что уравнения содержат неизвестные величины не только в первой степени. В частности, в нашем случае имеются члены в виде произведения двух неизвестных величин.