Сигнал вида sin(x)/x

Следующий пример призван продемонстрировать дуальность преобразования Фурье. Если сравнить формулы прямого и обратного преобразования Фурье, можно заметить, что они отличаются друг от друга лишь знаком в показателе комплексной экспоненты и множителем перед интегралом. Отсюда следует, что если четной функции времени f (t) соответствует спектральная функция g (ω) (она будет также четной), то функции времени g (t) будет соответствовать спектральная функция 2π f (ω). Проверим это на конкретном примере. В начале этого раздела мы выяснили, что прямоугольному импульсу соответствует спектральная функция вида sin(ω)/ω. Теперь же рассмотрим временной сигнал вида sin(t)/ t и проверим, будет ли его спектральная функция прямоугольной.

Итак, задаем временной сигнал (используем параметр T для обозначения полупериода функции sin) (рис. 1.24):

Рассчитываем спектр и строим график (рис. 1.25):

Рис. 1.24. Сигнал вида sin(at)/(at)

Рис. 1.25. Сигнал вида sin(at)/(at) имеет прямоугольный спектр

Значение каждого из двух получившихся интегралов равно ± π в зависимости от знака множителей (ω ± π/ T). Поэтому результат суммирования интегралов зависит от частоты следующим образом:

Как видите, дуальность (симметрия) преобразования Фурье получила наглядное подтверждение.

Сигнал данного вида имеет идеальный низкочастотный спектр - спектральная функция постоянна в некоторой полосе частот, начинающейся от нулевой частоты, и равна нулю за пределами этой полосы.