Прохождение стационарных случайных сигналов через линейные устройства

Понятие переходного и стационарного режимов устройства (рис.2.55).

Рис.2.65

При t = 0 имеем x(0) и y(0) = 0 - нулевые начальные условия. Случай, когда динамическая погрешность D(t)=var (t<t_у), соответствует переходному режиму, а случай, когда D(t)=const (t³t_у), соответствует стационарному режиму.

Рассмотрим теперь воздействие случайных сигналов на линейные устройства (рис.2.66). Пусть линейное устройство характеризуется комплексным частотным коэффициентом передачи K(jw) и импульсной (весовой) функцией g(t).

Рис.2.66

В момент t = 0 замыкается ключ К и на вход устройства подается стационарный процесс X(t). Начинается переходной режим. В этом режиме на выходе будет нестационарный процесс. Через время t_у устанавливается стационарный режим, при котором Y(t) - стационарный процесс.

Обычно решается следующая типичная задача. Известны математическое ожидание m_1x и корреляционная функция R_x(t) входного процесса. Требуется найти m_1y и R_y(t) для выходного процесса. При этом возможны два условия:

1) изучение нестационарного и стационарного режимов;

2) изучение только стационарного режима.

Первое условие. Здесь для решения задачи при нулевых начальных условиях нужно использовать дифференциальные уравнения. Для нулевых условий следует использовать весовую функцию g(t).

Выходной сигнал определяется интегралом свертки

Отсюда следует:

1) ,

стационарное значение функции будет при ;

2) ,

стационарное значение будет при и .

Если в выражении для функции последовательно сделать замену переменных, а именно сначала и , а затем и , то это выражение приводится к виду

.

Отсюда при следует стационарное значение

.

Второе условие. Когда интересуются только стационарным режимом, то применяют комплексный коэффициент передачи K(jw) (рис.2.67).

Рис.2.67

Спектральная плотность мощности выходного сигнала

где - амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) устройства.

Среднее значение выходного сигнала

m_1y = K(0)m_1x.

Корреляционная функция

.

Дисперсия выходного сигнала

В заключение следует отметить, что задача определения плотности вероятности выходного сигнала в общем виде не решается. В частном случае, когда Х(t) - нормальный процесс, выходной сигнал Y(t) также является нормальным процессом.