Ортогональные функции Уолша

Функции Уолша ортогональны на отрезке с весом . Известны четыре формы их записи и построения. Мы рассмотрим две.

1. Систему Уолша можно построить на базе системы функций Радемахера

,

где – порядок функции Радемахера.

Функции Радемахера ортонормированы:

Вид четырех функций Радемахера показан на рис.2.70. Генерируются они технически просто – обычным двоичным счетчиком.

Рис.2.70

Однако система Радемахера неполная. По ней можно разложить не любой сигнал, а только нечетный, так как функции Радемахера – нечетные.

Дополнение системы Радемахера приводит к системе Уолша. Эта система строится следующим образом. Для получения k-й функции Уолша число k представляется в двоичной системе счисления, т. е.

,

где – целые числа.

Функция Уолша определяется формулой

.

Для функции нулевого порядка принимается .

Например, . Отсюда следует и . Тогда функция Уолша 7-го порядка будет (рис.2.71)

.

Рис.2.71

График четырех функций Уолша приведен на рис.2.72.

Рис.2.72

Из функций Радемахера порядка можно построить функций Уолша.

2. Второй способ построения систем функций Уолша. В основе этого способа лежат свойства матриц Адамара. Полученная система называется системой Уолша - Адамара.

Элементарная матрица Адамара состоит из одного элемента и имеет вид . Для имеем базисную матрицу Адамара

, где

Для матрица имеет ту же структуру, но с элементами :

.

Для имеем матрицу Адамара с элементами :

и т. д.

Процесс наращивания матрицы продолжают до получения матрицы с нужным числом базисных функций.

Функции Уолша хороши тем, что они достаточно просто реализуются аппаратурно. В качестве примера рассмотрим структуру генератора 8-ми функций Уолша. Составим систему функций Уолша на базе системы функций Радемахера:

Таким образом, для формирования функций Уолша требуется генератор трех функций Радемахера, включающий задающий генератор G, два счетных триггера T₁ и T₂, а также устройства умножения соответствующих функций Радемахера (рис.2.73). Функция Уолша нулевого порядка W₀(z)=R₀(z) формируется источником постоянного напряжения с единичным уровнем.

Рис.2.73

Техническая реализация умножения функций Радемахера может быть заменена логическими операциями.

а) Обозначим: уровень символ

отрицательная логика.

Тогда умножению соответствует логическая операция сложение по mod2:

б) Обозначим: уровень символ

положительная логика.

Здесь умножению будет соответствовать функция алгебры логики (ФАЛ) “равнозначность”.

Таким образом, в зависимости от типа выбранной логики устройства умножения будут представлять собой или устройства сложения по mod2 или устройства, реализующие ФАЛ “равнозначность”.

Произвольный интервал задания функции всегда можно привести к интервалу ортогональности . Для этого нужно сделать замену переменной , где .