Функции Уолша ортогональны на отрезке с весом . Известны четыре формы их записи и построения. Мы рассмотрим две.
1. Систему Уолша можно построить на базе системы функций Радемахера
,
где – порядок функции Радемахера.
Функции Радемахера ортонормированы:
Вид четырех функций Радемахера показан на рис.2.70. Генерируются они технически просто – обычным двоичным счетчиком.
Рис.2.70
Однако система Радемахера неполная. По ней можно разложить не любой сигнал, а только нечетный, так как функции Радемахера – нечетные.
Дополнение системы Радемахера приводит к системе Уолша. Эта система строится следующим образом. Для получения k-й функции Уолша число k представляется в двоичной системе счисления, т. е.
,
где – целые числа.
Функция Уолша определяется формулой
.
Для функции нулевого порядка принимается .
Например, . Отсюда следует и . Тогда функция Уолша 7-го порядка будет (рис.2.71)
.
Рис.2.71
График четырех функций Уолша приведен на рис.2.72.
Рис.2.72
Из функций Радемахера порядка можно построить функций Уолша.
|
|
2. Второй способ построения систем функций Уолша. В основе этого способа лежат свойства матриц Адамара. Полученная система называется системой Уолша - Адамара.
Элементарная матрица Адамара состоит из одного элемента и имеет вид . Для имеем базисную матрицу Адамара
, где
Для матрица имеет ту же структуру, но с элементами :
.
Для имеем матрицу Адамара с элементами :
и т. д.
Процесс наращивания матрицы продолжают до получения матрицы с нужным числом базисных функций.
Функции Уолша хороши тем, что они достаточно просто реализуются аппаратурно. В качестве примера рассмотрим структуру генератора 8-ми функций Уолша. Составим систему функций Уолша на базе системы функций Радемахера:
Таким образом, для формирования функций Уолша требуется генератор трех функций Радемахера, включающий задающий генератор G, два счетных триггера T1 и T2, а также устройства умножения соответствующих функций Радемахера (рис.2.73). Функция Уолша нулевого порядка W0(z)=R0(z) формируется источником постоянного напряжения с единичным уровнем.
Рис.2.73
Техническая реализация умножения функций Радемахера может быть заменена логическими операциями.
а) Обозначим: уровень символ
отрицательная логика.
Тогда умножению соответствует логическая операция сложение по mod2:
умножение | сложение по mod2 |
(1)´(1)= 1 | 0 Å 0= 0 |
(1)´(-1)= -1 | 0 Å 1= 1 |
(-1)´(1)= -1 | 1 Å 0= 1 |
(-1)´(-1)= 1 | 1 Å 1= 0 |
б) Обозначим: уровень символ
положительная логика.
Здесь умножению будет соответствовать функция алгебры логики (ФАЛ) “равнозначность”.
Таким образом, в зависимости от типа выбранной логики устройства умножения будут представлять собой или устройства сложения по mod2 или устройства, реализующие ФАЛ “равнозначность”.
|
|
Произвольный интервал задания функции всегда можно привести к интервалу ортогональности . Для этого нужно сделать замену переменной , где .