2015-05-06
430
Аппроксимирующей функцией является полином Лагранжа. В качестве координат сигнала обычно предпочитают его отсчеты 
. Для построения интерполяционного полинома n-ой степени нужно иметь 
отсчет, т.е. 
. Моменты времени 
, k=0,1,...,n называют узлами интерполяции.
Общая картина интерполяции полиномом n-й степени представлена на рис.2.75).
Рис.2.75
Здесь 
– i-й участок интерполяции; 
– i-й интервал между координатами сигнала; 
– узлы интерполяции; 
– текущая погрешность интерполяции (аппроксимации) на i-м участке.
В общем случае интервал между отсчетами сигнала (узлами) 
. Если интервал 
, то на участке аппроксимации узлы интерполяции равноотстоящие. Для равноотстоящих узлов 
.
Задача интерполяции формулируется таким образом. Пусть задан 
отсчет 
в узлах , k=0,1,...,n. Требуется найти аппроксимирующий полином 
, проходящий через все отсчеты в узлах интерполяции.
Решением данной задачи является интерполяционный полином Лагранжа. Возможны две формы записи полинома Лагранжа. Они отличаются видом координат сигнала.
1) Первая форма. Здесь координаты – это коэффициенты разложения 
функции 
в ряд по базису 
.
В этом случае полином Лагранжа имеет вид
,
где коэффициенты 
определяются решением системы 
уравнений
система уравнений.
2) Вторая форма. Здесь координаты – это отсчет сигнала. Данная форма наиболее удобна и широко распространена в измерительной технике.
В этом случае полином Лагранжа имеет вид
.
Очевидно, при 
имеем 
, т. е. полином Лагранжа совпадает с функцией 
в узлах интерполяции.
Исходя из остаточного члена полинома,максимальная погрешность интерполяции при равномерном критерии приближения
,
где 
– оценка сверху остаточного члена 
интерполяционного полинома Лагранжа,
.
Для равноотстоящих узлов
,
где 
; 
.
