Диф-ть ф-и одной пер-й

Пусть дана ф-я , опред. на . Выберем любую т. и дадим нек. приращ. (настолько малое, что ) Приращ. ф-и в т. :

Опр. Производной ф-ей от наз. предел отношения приращения ф-и к приращ. ее аргумента, когда последн.

Опр. наз. дифференцируемой в т. , если

A=const, не зависящ. от , - бмф при

Th.

Утв: , т. е. если слева = справа

Опр. Лин. часть приращ. ф-и наз. диф-лом ф-и

Th. , , , то :

Th.

Th. : , монот, , , тогда , , монот.,

.

Опр. наз. возраст. в т. если сущ. нек окр-ть этой т. в кот.

.

Опр. наз. убыв. в т. если сущ. нек окр-ть этой т. в кот.

.

Замечание: 1 Если ф-я возраст. (убыв.), то она возраст (убыв.) в т. .

2 Если ф-я возраст. (убыв.) в т. , то она не обяз. возраст (убыв).

Th1. возр. (убыв.) в т.

Необх. усл-я экстремума.

Опр. Ф-я имеет в т. loc max (min), если в нек проколотой окр-ти этой т. вып-ся ()

Опр. Ф-я имеет loc экстремум в т. , если в этой т. она имеет или loc min или loc max.

Th (Ферма): , - loc extr. .

Док-во: По усл.

Т.к. имеет в т. loc extr, то она не может в этой точке ни возр. ни убыв, тогда по th1 не м. б. >0 или <0, .

Th Ролля: , :

Док-во: (th Вейерштрасса) ,

1)

2) , что или (т.к. ) (th Ферма)

Th Лагранжа: : .

Док-во: введем

(th Ролля)

(разность и лин. ф-и)

Сл- я: