Разложение в ряд Тейлора (Маклорена) основных элементарных функций

1. Эта функция бесконечно дифферкнцируема на . При этом

.

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа имеет вид

, ,

где может быть положительным и отрицательным. На отрезке ,

.

Это показывает, что функция раскладывается на в сходящийся к ней ряд Тейлора по степеням (ряд Маклорена):

.

Но произвольное число, поэтому это равенство имеет место на всей действительной оси.

2. Данная функция имеет производную любого порядка и

.

Поэтому по теореме 2 функция раскладывается в сходящийся к ней на ряд Тейлора по степеням :

.

3. Совершенно аналогично можно получить, что

.

4. Эта функция определена и сколько угодно раз дифференцируема для . Поэтому для нее формулу Тейлора можно написать для любого при . Так как

,

то формула Тейлора имеет вид

.

Используя ф-лы лагранжа и Коши остаточного члена можно показать, что . Поэтому ф-я раскладывается в указанном промежутке в ряд Тейлора по степеням :

.

5. Для этой функции

, .

Формула Тейлора по степеням имеет вид

.

Можно доказать, что при любом : . Поэтому для любого действительного имеет место разложение функции в ряд Тейлора по степеням :

.