Лінійні векторні простори. Підпростори. Базис і розмірність. Координати вектора

Опр. Линейное (векторное) пространство над полем наз множ (Эл которого наз векторами) на котором введено 2 операции сложения и умножения на число (элем поля) и выполн. след. аксиомы:

0)

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8) .

В качестве поля мы будем рассматривать в поле как в множ. действит чисел (в этом случае пространство наз. действит.) и поле (множ. комплексных чисел), если не оговорено противоположное рассматривается действительное пространство.

Опр. Вектор – это элемент векторного пространства.

Опр. Базисом ЛВП – наз. любая упорядоченная макс лин. независимая система векторов (любые 2 базиса пространства имеют одинаковое количество векторов.)

Опр. Размерностью лин. пространства наз. число = кол-ву элементов в любом базисе этого пространства (в лин пространстве не определено понятие длинны вектора и угла между векторами).

Опр. Координатами вектора в базисе наз. упорядоченный набор коэффициентов при разложении данного вектора по базису. (Пример: или )

Опр. Подпространством лин векторного пространства наз такое его подмножество, которое само явл лин простр-м относительно тех же операций.

Критерий под-ва. Подпространство лин. векторного пр-ва явл. подпр-вом тогда и только тогда, когда выполняются две аксиомы:

1) (сумма 2-х елементов из подмнож лежит в этом подмнож.)

2) (Произведение любого числа на любой элемент подмнож лежит в этом подмнож)

Базис подпространства всегда можно дополнить до базиса всего пространства.

Опр. Пересечением (объединением) подпространств и наз множ тех векторов кот входят в и одновременно (кот входят или в или в )

Опр. Суммой подпространств и наз множ векторов каждый из кот можно записать в виде суммы 2-х векторов одного из другого из

- формула Грассмана.

Опр. Сумма подпространств наз прямой если пересечение этих подпространств состоит только из .