Власні вектори і власні значення лінійного оператора. Умови діагоналізіруемості мтриці лінійного оператора

Линейное (векторное) пространство над полем называется множество (Элементы которого называются векторами) на котором введено 2 операции сложения и умножения на число (элементы поля ) и выполняются следующие аксиомы: 1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

Пусть - 2 линейных пространства. Отображение из в называется линейным если выполняются аксиомы:

1) ,

2) .

Линейным оператором называется линейное отображение векторного пространства в себя.

Вектор (ненулевой ) называется собственным вектором линейного оператора если при этом число называется собственным значением оператора .

Число называется собственным числом линейного оператора если существует такой ненулевой что .

Теорема: собственные векторы отвечающие различным собственным значениям линейно не зависимы.

Следствие: кол-во собственных значений линейного оператора превосходит размерности пр-ва.

Множество всех собственных значений линейного оператора называется спектром .

Если собственное значение оператора то . Система уравнений кот должна иметь нетривиальное решение, то есть нулевое.

Используя теорему Крамера получаем, что данная система будет иметь не тривиальное решение тогда и только тогда, когда полученное уравнение называется характеристическим, собственные значения и только они являются корнями характеристического уравнения.

Теорема: Для того, чтобы комплексное число l было собственным значением линейного оператора А необходимо и достаточно, чтобы это число являлось корнем характеристического уравнения det (А-lI)=0.