Гомоморфизм групп

Множество g называется группой, если на этом множестве задана одна алгебраическая операция (сложения или умножения) и выполняются:

1) Замкнутость относительно введенной операции: для любых а и в є g: а*в є g.

2) Ассоциативность: для любых а, в, с є g: (а*в)*с=а*(в*с).

3) Существование единственного нейтрального элемента: существует e є g такое, что для любого а є g, а*е=е*а=а.

4) Существование обратного элемента: для любого а є g существует единственные элемент а^-1, такой, что а*а^-1=а^-1*а=е.

Пусть H є G, тогда H будет называться подгруппой, если оно само образует группу относительно операций, введенных на группе G. Пусть g₁и g₂ группы. Отображение называется гомоморфизмом, если для любого g₁, h є g₁: , где * - операция из g₁, - операция из g₂. Гомоморфизм – это такое отображение, которое сохраняет операцию.

Свойства гомоморфизма: Пусть , тогда:

1. , где l₁ – нейтральный элемент группы g₁, l₂ –группы g₂.

2. Для любого g є g_1:

Ядром (ker ) гомоморфизма называется множество . Образом гомоморфизма называется множество: . Ядро гомоморфизма является подгруппой g₁, а образ – подгруппой группы g₂. Гомоморфизм является изоморфизмом тогда и т. т., к. его ядро тривиально, а образ совпадает с g₂: .