Уравнения, приводящиеся к уравнениям в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель

В некоторых случаях, когда уравнения:

Удаётся подобрать некоторую функцию такую, что уравнение:

Становится уравнением в полных дифференциалах. Общее решение полученного таким образом уравнения совпадает с общим решением первоначального уравнения .

Функция называется интегрирующим множителем уравнения .

Для того, чтобы уравнение было уравнением полных дифференциалов, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение:

То есть

– уравнение в частных производных первого порядка с неизвестной функцией .

Всякая функция , удовлетворяющая уравнению , является интегральным множителем уравнения .

В общем случае, задача нахождения из ещё труднее, чем первоначальная задача интегрирования уравнения . Существуют такие частные случаи, когда удаётся найти :

1. Случай интегрирующего множителя, зависящего только от х

1. Случай интегрирующего множителя, зависящего только от y

1. Случай интегрирующего множителя вида