2015-04-20
912
Уравнение вида
,
где 
, 
- функция от 
и 
, называется неоднородным диф-ным ур-нием 2го порядка с постоянными коэффициентами.
Метод вариации произвольных постоянных используется для нахождения частного решения лин. неоднороднного диф. ур. 2-го порядка с постоянными коэффициентами, при любом виде правой части . Суть решения:
1. Отыскивается общее решение соответствующего однородного уравнения (т.е. 
):
.
2. Частное решение неоднородного диф. ур. ищется в виде:
(т.е. 
заменяются на функции времени 
).
3. Функции 
(
) определяются из системы:
.
4. Общее решение неоднородного ур. Определяется в виде суммы: общего решения однородного ур. 
и частного решения неоднородного ур. 
:
.
Пример: 
Пусть 
Определим неизвестные ф-ции 
и 
из системы:
Решаем систему по методу Крамера:
Общее решение
.
70. Лінійні однорідні диференціальні рівняння 2го порядку зі сталими коефіцієнтами. Узагальнення на випадок рівняння 
-го порядку.
Уравнение вида
(1)
где (действительные), называется лин. однородным ур. 2го порядка с постоянными коэффициентами.
Для нахождения решения ур. (1) составляется характеристическое ур. вида:
(2)
и определяются корни 
данного квадратного уравнения, которые называются характеристическими числами. Структура общего решения ур (1) зависти от вида корней ур. (2).
1-ый вид: Корни действительные и различные 
, тогда общее решение ур. (1) имеет вид:
2-ой вид: Корни комплексно сопряженные 
, тогда общее решение ур. (1) имеет вид:
3-ий вид: Корни действительные и кратные(равные) 
, тогда общее решение ур. (1) имеет вид:
4-ый вид: Корни комплексно сопряженные кратные(равные) 
, тогда ур. (1) имеет вид:
.
Узагальнення на випадок рівняння -го порядку.
Уравнение вида
(3)
где 
(действительные), называется лин. однородным ур. -го порядка.
Для нахождения решения ур. (3) составляется характеристическое ур. вида:
(4)
и определяются корни его корни, 
, которые называются характеристическими числами. Структура общего решения ур. (3) зависит от вида корней ур. (4).
1-ый вид: Корни действительные и различные 
, тогда общее решение ур. (3) имеет вид:
2-ой вид: Корни комплексно сопряженные 
, тогда общее решение ур. (3) имеет вид:
3-ий вид: Корни действительные и кратные(равные) 
, тогда общее решение ур. (3) имеет вид:
4-ый вид: Корни комплексно сопряженные кратные(равные) 
, тогда ур. (3) имеет вид:
.
