Свойства параллельности двух прямых

Существуют три свойства параллельности двух прямых:

1) Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны.

2) Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

3) Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма односторонних углов равна 180°.

Докажем 1 свойство.

Доказательство Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей MN. Докажем, что накрест лежащие углы 1 и 2, равны. Допустим, что углы 1 и 2 не равны. Отложим от луча MN угол PMN, равный углу 2, так, чтобы угол PMN и угол 2 были накрест лежащими углами при пересечении прямых МР и b секущей MN. По построению эти накрест лежащие углы равны, поэтому МР||b. Мы получили, что через точку М проходят две прямые (прямые а и МР), параллельные прямой b. Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, наше допущение неверно и Ðl=Ð2. Теорема доказана.

Запись на доске.

Дано: a, b – прямые,. a ║ b, MN – секущая.

Доказать: Ðl = Ð2

Доказательство. Пусть Ðl ≠ Ð2.

Доп. построение ÐPMN=Ð2, и ÐPMN и Ð2 накрест лежащие при прямых МР и b и секущей MN.

Т. к. ÐPMN=Ð2 по построению ═> МР||b (по признаку), a ║ b (по условию). ═>

Противоречие аксиоме параллельных прямых ═>Ðl = Ð2.