Теорема о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике

Теорема. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику.

Доказательство.

Пусть ABC — прямоугольный треугольник с прямым углом С, CD — высота, проведенная из вершины С к гипотенузе АВ. Докажем, что ΔABC ΔACD, ΔABC ΔCBD, ΔACD ΔCBD. Треугольники ABC и ACD подобны по первому признаку подобия треугольников (ÐA — общий, ÐACB = ÐADC = 90°). Точно так же подобны треугольники ABC и CBD (ÐB — общий и ÐACB = ÐBDC = 90°), поэтому ÐA = ÐBCD. Наконец, треугольники ACD и CBD также подобны по первому признаку подобия (в этих треугольниках углы с вершиной D прямые и ÐA = ÐBCD), что и требовалось доказать.

Отрезок XY называется средним пропорциональным (или средним геометрическим) для отрезков АВ и CD, если

Из теоремы имеются следующие утверждения:

1°. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное для отрезков, на которые делится гипотенуза этой высотой.

2°. Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла. ,

Запись на доске.

Дано: ΔАВС - прямоугольный, CD AB

Доказать: ΔABC ΔACD, ΔABC ΔCBD, ΔACD ΔCBD.

Доказательство. ΔABC ΔACD по 1 признаку подобия (ÐA — общий, ÐACB = ÐADC = 90°).

ΔABC ΔCBD по 1 признаку подобия (ÐB — общий и ÐACB = ÐBDC = 90°),?> ÐA = ÐBCD.

ΔACD ΔCBD по 1 признаку подобия (ÐADС = ÐBСD = 90°, ÐA = ÐBCD).

Следствия: 1)

2) ,