sin x = x + о(х) при х ® 0. В самом деле, так как = 1, то sin x ~ x
при х ® 0, и,следовательно sin x - x = o(x), откуда sin x = x + о(х) при х ® 0:
(рисунок)
Следствие 2.
cos x = 1 - + o(x 2) при х ® 0.
Доказательство:
= = = 1. Отсюда следует, что
1 - cos ~ при х ® 0, поэтому 1 - cos x - = o(x 2) при х ® 0, или
cos x = 1 - + o(x 2) при х ® 0.
Следствие 3.
tg x = x + o(x) при х ® 0.
Примеры:
1) = = =12.
2) ;
1) первая попытка:
= = - чему равен предел этой дроби, сказать нельзя.
2) вторая попытка:
.
7. Доказать, что (1 + х)1/ х = е. (второй замечательный предел.
(1 + х)1/ х = е. (это неопределённость типа 1¥).
Доказательство:
По определению, е = .
Неверное доказательство теоремы:
Положим = х, тогда = (1 + х)1/ х , и x ® 0 при n ® ¥.
Поэтому (1 + х)1/ х ® e при х ® ¥.
Это доказательство неверно, так как здесь x ® 0 определённым способом
(x = , где n - натуральное число), а нужно рассматривать произвольное стремление x к нулю.