Теорема доказана

Примеры:

1) = log _a [(1+ x)^{1/ x} ] = log _a e = , так как (1+ x)^{1/ x} ® e при x ® 0.

Отсюда следует, что log _a (1+ x) ~ при х ® 0.

Поэтому log _a (1+ x) - = о (х) при х ® 0, то есть log _a (1+ x) = + о (х) при х ® 0. В частности, если а = е, то получаем ln(1+ x) = х + о (х). 2) . Обозначим а^х - 1 = у. Тогда y ® 0 при х ® 0, х =log _a (1+ x). = = = ln a, так как (1 + y)^{1/ y} ® е при y ® 0. Итак, = ln a. Отсюда следует, что а^х - 1 ~ x× ln a при х ® 0.

Поэтому а^х =1 + x× ln a + o (x) при х ® 0, в частности, е^х =1 + x + o (x).