Теорема 4.3

Пусть функция y = f (x) определена, строго монотонна и непрерывна в некоторой окрестности точки x ₀, дифференцируема в точке x ₀, причём производная f '(x ₀) ¹ 0. Тогда в некоторой окрестности точки у ₀(где у ₀ = f (x ₀)) существует обратная функция x = f ^-1(y), эта обратная функция дифференцируема в точке у ₀, и f ^-1'(y ₀)= .

Доказательство:

(рисунок)

Из условий теоремы следует: $ [ a, b ]: y = f (x) определена, строго монотонна и непрерывна на [ a, b ]. причём a < x ₀ < b. Поэтому, согласно теореме 3.5, множеством значений f (x), рассматриваемой на [ a, b ], является сегмент Y = [ f (a), f (b)], на Y существует обратная функция x = f ^-1(y), строго монотонная и непрерывная. При этом y ₀ Î (f (a), f (b)). Зададим приращение D y ¹ 0 аргументу обратной функции в точке y ₀. Обратная функция получит приращение D х = f ^-1(y ₀ + D y) - f ^-1(y ₀), причем D х ¹ 0 в силу строгой монотонности обратной функции. Рассмотрим равенство:

= . (1)

Пусть D y ® 0, тогда D х ® 0 в силу непрерывности обратной функции. Но при D х ® 0 знаменатель в правой части равенства (1) стремится к f '(x ₀), причем по условию f '(x ₀) ¹ 0. Поэтому при D y ® 0 предел правой части равен . Следовательно при D y ® 0 существует предел левой части равенства (1), то есть существует производная обратной функции в точке у ₀ и она равна : f ^-1'(y ₀)= .