Производная функции, заданной параметрически. Инвариантность формы первого дифференциала

Инвариантность формы первого дифференциала.

Пусть y = f(x), где х - независимая переменная. Тогда оп определению dy = f'(x)dx (1) Где dx = Dx. dy называется также первым дифференциалом функции. Покажем, что формула (1) сохраняется и в том случае, когда х является не независимой переменной, а дифференцируемой функцией x = j(x), t - независимая переменная. y = f(j(t)) º F(t), dy = F'(t)dt. Воспользуемся формулой дифференцирования сложной функции:

F'(t) = f'(j(t))j'(t).

dy = f'(j(t))j'(t)dt.

Но, так как x = j(t), то dx = j'(t)dt, dy = f'(x)dx, то есть формула 1 остается в силе и в этом случае. Это свойство называется инвариантностью формы первого дифференциала. Отметим, что не меняется только форма (вид) первого дифференциала, а содержание меняется. Именно, если х - независимая переменная, то dx = Dx, если же x = j(t), то dy = j'(t)dt ¹Dx.

Из формулы (1) получаем, что f'(x) = , (2) то есть производная функции f(x) равна отношению дифференциалов функции и аргумента также и в том случае, когда аргумент является не независимой переменной, а дифференцируемой функцией какой-то независимой переменной.

В качестве следствия из формулы (2) выведем формулу производной функции, заданной параметрически.

Пусть x и y заданы как функции независимой переменной t, которую мы назовём параметром.

x = j(t), y = y(t) (3)

пусть параметр t также изменяется на некотором промежутке и пусть t = j^-1(x). Таким образом, уравнения (3) задают функцию f(x). Такое задание функции называется параметрическим. Выведем формулу f'(x). По формуле (2): f'(x)= , но dy=y'(t)dt, dx=j'(t)dt Þ f'(x) = .

f'(x) = (4)

Уравнение (3) и формула (4) допускают простую физическую интерпретацию. Пусть t -время, (x, y)- координаты точки. Тогда уравнения (3) задают движение точки на плоскости, при это график y = j(x) является траекторией точки.

(рисунок)

= j(t) y(t) вектор скорости. Докажем, что этот вектор направлен по касательной к траектории. В самом деле, tg a = . = f'(x) Þ tga = f'(x). А это и означает, что вектор скорости направлен по касательной.

Пример: x = cos t (cos t есть j(t)), y = sin t (sin t есть y(t)), 0 < t < p.. Функция x = cos t имеет обратную: t = arccos x, и эти уравнения задают параметричскую функцию y = f(x). По формуле (4): f'(x) = = (0 < t < p).

1) f'(x) = = .

2) В данном случае f(x) можно найти в явном виде:

y = sin(arccos x) = ( есть f(x))

f'(x) = (-2x) = .