Косвенные измерения

При косвенных измерениях мы замеряем одну или несколько величин, которые мы умеем мерить, и по их значениям вычисляем искомую величину. Правило вычисления можно записать в виде формулы:

Y=f(x₁,x₂,…x_n) (12)

Где Y – искомая величина,

x₁,x₂,…x_n – величины, которые мы измеряем непосредственно,

f() – правило вычисления.

Как оценить погрешность Y если известны погрешности прямых измерений x₁,x₂,…x_n? Сначала рассмотрим проблему в случае одной переменной. На рис 5 приведен график зависимости Y от x. При изменении x на Δx величина Y меняется на ΔY. Если Δx мало (Δx << x), то значение ΔY мы можем найти с помощью производной f’(x):

ΔY = (f(x+ Δx)- f(x)) ≈ f’(x)*Δx (13)

Так как истинное значение х может отличаться от измеренного и в большую и в меньшую сторону, для определения ΔY нам придется взять не производную f’(x), а ее абсолютное значение |f’(x)|. Если мы хотим найти погрешность косвенного измерения на всем интервале измерений, заменим в формуле 13 величину f’(x) на ее максимальное значение в измеряемом интервале:

ΔY ≈ max|f’(x)|*Δx (13)

В случае нескольких измерений, вместо производной будем использовать частные производные по каждому x_i:

ΔY ≈ ∑(max|∂f/∂ x_i|*Δ x_i) (14)

Рис 6. Оценка погрешности косвенного измерения