Понятие системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

МАТЕМАТИКА для ПСД

Раздел 1. Основы линейной алгебры и дискретной математики

Тема 1. Основы линейной и векторной алгебры

(12 аудиторных часов)

ЛЕКЦИЯ 1/1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Введение – 7 мин.

1. Понятие системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) – 15 мин.

2. Определение и виды матриц, операции над матрицами – 25 мин.

3. Определители матриц, их свойства и нахождение – 40 мин.

Заключение – 3 мин.

Введение

Математика в общем, дисциплина Математика для психологов, формы проведения занятий, формы контроля (контрольные работы и экзамен), правила поведения, тетрадь, литература.

Понятие системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными имеет вид:

, (1)

где числа а ₁₁, а ₁₂, …, а _mn называются коэффициентами системы;

числа b ₁, b ₂, …, b _m – свободными членами;

х ₁, х ₂, …, х _n – неизвестными.

Слово "линейность" означает то, что все неизвестные х ₁, х ₂, …, х_n входят в систему в первой степени.

Например, система трех уравнений с тремя неизвестными имеет вид:

,

Системы могут быть однородными и неоднородными.

Система (1) называется однородной, если все свободные члены равны нулю. В противном случае, система (1) называется неоднородной.

После того как система определена, основной задачей становится ее исследование и решение.

Совокупность n чисел называется решением системы (1), если после подстановки их вместо неизвестных во все уравнения системы, каждое из этих уравнений превращается в тождество.

Конечно, не всякая система имеет решение, а если и имеет, то не обязательно одно. Для системы вида (1) имеют место только три возможности:

Система (1)

не имеет решения имеет единственное решение имеет бесчисленное

множество решений

несовместная система совместная система

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Если система уравнений решений не имеет, то она называется несовместной.

Необходимо отметить тот факт, что однородная система не может быть несовместной, так как она всегда имеет нулевое решение.

Нетрудно понять, что решение системы (1) полностью определяется коэффициентами системы и свободными членами. Поэтому встает вопрос: нельзя ли отдельно исследовать их, записав в виде каких-то компактных таблиц, а не переписывать каждый раз всю систему? Оказывается можно. Таблицы, которыми пользуются при решении систем, назвали матрицами.