2015-04-23
944
Рассмотрим систему m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:
,
Расширенной матрицей системы называется матрица, состоящая из основной матрицы с присоединенным к ней столбцом свободных членов, т. е.
.
Метод Гаусса – метод последовательного исключения неизвестных – заключается в том, что с помощью элементарных преобразований расширенную матрицу системы приводят к треугольному или ступенчатому виду, затем по полученной матрице восстанавливают систему, по которой и судят о том, имеет ли она решения и какие. В случае, когда среди уравнений преобразованной системы есть противоречивые уравнения, система решений не имеет. В случае, когда такого уравнения нет, система имеет либо единственное решение (если число уравнений равно числу неизвестных), либо имеет множество решений (когда число уравнений меньше числа неизвестных). Решения последовательно находятся из восстановленной системы.
1. Решить методом Гаусса системы:
1) 
.
Решение. Запишем расширенную матрицу системы:
|
|
|
~> 
~> 
~> 
.
По полученной матрице системы восстановим саму систему:
.
Решаем ее снизу вверх. Из последнего уравнения х 3 = 2. Подставляя это значение во второе уравнение, найдем х 2 = 3. Затем, подставляя эти два найденных значения в первое уравнение, получим х = -1.
Система имеет единственное решение х = -1, х 2 = 3, х 3 = 2.
2) 
.
Решение. Запишем расширенную матрицу системы:
~> 
~> 
.
По полученной матрице системы восстановим саму систему:
.
Последнее уравнение системы противоречиво, так как является неверным равенством, следовательно, данная система несовместна.
Система решений не имеет.
3) 
.
Решение. Запишем расширенную матрицу системы:
~> 
~> 
~> 
.
По полученной матрице системы восстановим саму систему:
.
Эта система состоит из двух уравнений с тремя переменными. Выразим какие-нибудь две переменные через третью, например, х 1 и х 2 через х 3, получим:
=> 
.
Система имеет бесчисленное множество решений, которые связаны формулой 
, где переменная х 3 может принимать любое значение от –¥ до + ¥. ◄
4) 
5) 
6) 
